Un profesor de una clase de $30$ estudiantes selecciona al azar a un grupo de $4$ estudiantes para que sean sus ayudantes durante la semana. Tom, Peter y Jana son amigos y les gustaría ser incluidos juntos en la selección. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de estos amigos sean incluidos en el grupo?
Calcularon la probabilidad de la siguiente manera:
(1) Jana determinó el número total de posibles $4$-miembros que el profesor puede crear como combinaciones no ordenadas de $4$ de $30$, es decir.: $${30 \choose 4}=27\,405$$
(2) Petr calculó el número de grupos en los que los tres amigos están juntos, que según él sería $27$.
(3) Tom calculó el número de grupos en los que exactamente dos de los amigos estuvieran juntos: $${3\choose2}\cdot{28\choose2}=1\,134$$
(4) Jana sumó rápidamente el número de grupos favorables: $27+1134$. Según Jana, el profesor puede crear un total de $1\,161$ grupos en los que haya al menos dos de los amigos.
(5) Tom completó la tarea calculando la probabilidad de que al menos dos amigos estén juntos: $$\frac{1\,161}{27\,405}=0.0424$$
¿Resolvieron correctamente el problema? Si alguien cometió un error en su razonamiento, ¿quién lo cometió?
Resolvieron el problema correctamente juntos.
Jana cometió un error en el paso (1). Debería haber calculado el número total de $4$ -grupos ordenados de cuatro miembros: $$30\cdot29\cdot28\cdot27=657\,720$$
Petr cometió un error en el paso (2). El número de grupos en los que los tres amigos están juntos es $30$.
Tom ha cometido un error en el paso (3). El número de grupos en los que exactamente dos de los amigos están juntos es: $${3\choose2}\cdot{27\choose2}=1\,053$$
El profesor puede crear un total de $1080(= 27 + 1053)$ grupos en los que estén incluidos al menos dos de los amigos. La probabilidad de que al menos dos amigos estén juntos es: $$\frac{1\,080}{27\,405}\doteq0.0394$$