Učitel ve třídě s $30$ studenty vybírá náhodně skupinu $4$ studentů, kteří budou tento týden jeho asistenty. Kamarádi Tomáš, Petr a Jana by chtěli být do výběru zařazeni spolu. Jaká je pravděpodobnost, že do výběru budou zařazeni alespoň dva z těchto kamarádů?
Společně počítali pravděpodobnost takto:
(1) Jana určila počet všech možných $4$členných skupin, které může učitel vytvořit, jako kombinaci čtvrtého stupně z $30$, tj.: $${30 \choose 4}=27\,405$$
(2) Petr počítal, v kolika skupinách budou všichni tři kamarádi společně. Takových skupin je podle něj pouze $27$.
(3) Počet skupin, ve kterých budou právě dva z kamarádů, spočítal Tomáš takto: $${3\choose2}\cdot{28\choose2}=1\,134$$
(4) Jana rychle počty skupin sečetla, celkem může podle Jany učitel vytvořit $27+1134=1\,161$ skupin, ve kterých jsou alespoň dva z kamarádů.
(5) Tomáš úlohu dokončil a spočítal pravděpodobnost, že budou alespoň dva kamarádi spolu: $$\frac{1\,161}{27\,405}=0{,}0424$$
Spočítali úlohu správně? Kdo udělal případně ve svých úvahách chybu?
Úlohu společně vyřešili správně.
Jana udělala chybu v kroku (1), celkový počet $4$členných skupin měla spočítat jako množinu uspořádaných čtveřic z 30 prvků, tj. $$30\cdot29\cdot28\cdot27=657\,720$$
Petr udělal chybu v kroku (2). Počet skupin, ve kterých budou všichni tři kamarádi společně, je $30$.
Chybu udělal Tomáš v kroku (3). Skupin, ve kterých budou právě dva kamarádi společně, je: $${3\choose2}\cdot{27\choose2}=1\,053$$
Učitel může vytvořit celkem $1080(= 27 + 1053)$ skupin, ve kterých jsou alespoň dva z kamarádů. Pravděpodobnost, že budou ve skupině alespoň dva z kamarádů, je tedy $$\frac{1\,080}{27\,405}\doteq0{,}0394$$