$\frac{(1+\mathrm{tg}^2 x)(-1-\sin^2 x)}{2-\cos^2 x}$

Project ID: 
3000000083
SubArea: 
Sinus, kosinus, tangens a kotangens (goniometrické funkcie)
Question: 

Gabriela sa snažila zjednodušiť výraz: $$\frac{(1+\mathrm{tg}^2 x)(-1-\sin^2 x)}{2-\cos^2 x}$$

V ktorom kroku svojho riešenia urobila Gabriela chybu?

Riešenie Gabriely:

Najprv sa Gabriela rozhodla nájsť definičný obor daného výrazu.

  • Uvedomila si, že menovateľ $2-\cos^2 x$ je definovaný $\forall x \in\mathbb{R}$, pretože platí $-1\leq\cos^2 x\leq1$, takže menovateľ nie je rovný nule pre žiadne $x\in\mathbb{R}$.
  • Výraz $-1-\sin^2 x$ v čitateli je tiež definovaný $\forall x\in\mathbb{R}$.
  • Výraz $1+\mathrm{tg}^2 x$ je definovaný $\forall x\in\mathbb{R}\backslash\left\{(2k+1)\frac{\pi}{2};k\in\mathbb{Z}\right\}$.

Gabriela dospela k záveru, že definičný obor daného výrazu je:

$$\mathbb{R}\backslash\left\{(2k+1)\frac{\pi}{2};k\in\mathbb{Z}\right\}$$ Zjednodušila daný výraz v určenom definičnom obore ($\forall x\neq(2k+1)\frac{\pi}{2}$, kde $k\in\mathbb{Z}$) nasledujúcimi krokmi. \begin{aligned} \frac{(1+\mathrm{tg}^2 x)(-1-\sin^2 x)}{2-\cos^2 x}&\stackrel{(1)}=\frac{\left(1+\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\right)\left(-1-\sin^2 x\right)}{2-\cos^2 x}\stackrel{(2)}=\cr &\stackrel{(2)}=\frac{\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}\left(-1-\sin^2 x\right)}{2-\cos^2 x} \stackrel{(3)}=\cr &\stackrel{(3)}=\frac{\frac{1}{\cos^2 x}(-\cos^2 x)}{2-\cos^2 x}\stackrel{(4)}=\cr &\stackrel{(4)}=\frac{-1}{2-\cos^2 x} \stackrel{(5)}=\cr &\stackrel{(5)}=\frac{1}{\cos^2 x-2}\end{aligned}

Answer 1: 

Chyba je v kroku (1). Správna úprava je: $$\frac{\left(1+\mathrm{tg}^2 x\right)\left(-1-\sin^2 x\right)}{2-\cos^2 x}=\frac{\left(1+\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}\right)(-1-\sin^2 x)}{2-\cos^2 x}$$

Answer 2: 

Chyba je v kroku (2). Správna úprava je: $$\frac{\left( 1+\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\right)(-1-\sin^2 x)}{2-\cos^2 x}=\frac{\frac{1+\sin^2 x}{\cos^2 x} (-1-\sin^2 x)}{2-\cos^2 x}$$

Answer 3: 

Chyba je v kroku (3). Správna úprava je: $$\frac{\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}(-1-\sin^2 x)}{2-\cos^2 x}=\frac{\frac{-1}{\cos^2 x}(1+\sin^2 x)}{1+(1-\cos^2 x)}$$

Answer 4: 

Chyba je v kroku (5). Správna úprava je: $$\frac{-1}{2-\cos^2 x}=\frac{1}{2+\cos^2 x}$$

Fixed Answer: 
All Fixed
Correct Answer: 
Answer 3
Hint: 

Tu je správne zjednodušenie výrazu Gabriely: \begin{aligned} \frac{\left(1+\mathrm{tg}^2 x\right)\left(-1-\sin^2 x\right)}{2-\cos^2 x}&=\frac{\left(1+\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\right)(-1-\sin^2 x)}{2-\cos^2 x}=\cr &=\frac{\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}(-1-\sin^2 x)}{2-\cos^2 x}=\frac{\frac{-1}{\cos^2 x}\left(1+\sin^2 x\right)}{1+(1-\cos^2 x)}=\cr &=\frac{\frac{-1}{\cos^2 x}(1+\sin^2 x)}{1+\sin^2 x}=-\frac{1}{\cos^2 x} \end{aligned}