Študenti Adam, Bob, Chris a David mali za úlohu vyriešiť neurčitý integrál: $$\int \sin(x^2 )\mathrm{d}x$$ Adam považoval integrál za jednoduchý a vyriešil ho okamžite: $$\int \sin (x^2 )\mathrm{d}x =-\cos (x^2 )+c$$ Bob si uvedomil, že ide o integrál zloženej funkcie a vyriešil ho takto: $$\int \sin (x^2 )\mathrm{d}x =-\cos (x^2 ) \cdot 2x+c $$ Chris si uvedomil, že to nie je jednoduchý integrál a postupoval nasledovne: $$ \begin{gather}\int \sin(x^2 )\mathrm{d}x =\int [1-\cos(x^2 ) ]\mathrm{d}x =x-\int \cos(x^2 )\mathrm{d}x = \cr =x-\int [1-\sin(x^2 ) ]\mathrm{d}x =x-x-\int \sin(x^2 )\mathrm{d}x \end{gather} $$ Na pravej aj ľavej strane rovnice dostal rovnaký integrál a rovnicu teda upravil do tvaru: $$ 2\int \sin(x^2 )\mathrm{d}x =x-x=0, $$ čím dospel k záveru, že integrál je rovný nule.
David sa rozhodol použiť substitúciu $x^2=t$ a našiel vzťah medzi diferenciami $2x\mathrm{d}x =\mathrm{d}t$, z ktorého odvodil $\mathrm{d}x =\frac{\mathrm{d}t}{2x}$. Potom postupoval takto: $$\int \sin(x^2 )\mathrm{d}x =\int \sin t \frac{\mathrm{d}t}{2x} $$ Uvedomil si, že $\frac{1}{2x}$ sa dá vybrať pred zátvorku, pretože integroval vzhľadom na premennú $t$ a pokračoval: $$\int \sin t \frac{\mathrm{d}t}{2x} = \frac{1}{2x} \int \sin t\, \mathrm{d}t= \frac{1}{2x} (-\cos t ) $$ Nakoniec sa vrátil k pôvodnej premennej ($t=x^2$ ), pripočítal konštantu a dostal výslednú primitívnu funkciu: $$-\frac{1}{2x} \cos(x^2)+c $$ Vyriešil niekto z nich integrál správne?
Nikto
Adam
Bob
Chris
David
Hoci sa neurčitý integrál $$\int \sin(x^2 )\mathrm{d}x $$ môže zdať na prvý pohľad jednoduchý, nedá sa vyriešiť štandardnými metódami. Konkrétne ho nie je možné vyjadriť pomocou elementárnych funkcií. Hľadanou primitívnou funkciou je Fresnelov integrál $S(x)$ definovaný vzorcom: $$ S(x)=∫_0^x \sin(t^2 )\mathrm{d}t $$ Inými slovami, je to funkcia definovaná práve integrálom, ktorý sme mali za úlohu riešiť. Každý študent urobil vo svojom riešení zásadnú chybu. Napríklad Adam vôbec neuvažoval o argumente $x^2$ funkcie $\sin x^2$. Bob nesprávne spojil integráciu s diferencovaním vnútornej funkcie a Chris nepochopil rozdiel medzi $\sin^2 x$ a $\sin(x^2)$, čo viedlo k nesprávnej interpretácii goniometrického vzťahu. Chris tiež urobil chybu v znamienku pred integrálom. David vyňal z integrálu výraz obsahujúci premennú, čo nie je prípustné.