Studenti Adam, Bob, Chris a David měli za úkol vypočítat neurčitý integrál: $$\int \sin(x^2 )\mathrm{d}x$$
Adam považoval integrál za jednoduchý a vyřešil jej okamžitě: $$\int \sin (x^2 )\mathrm{d}x =-\cos (x^2 )+c$$
Bob si uvědomil, že se jedná o integrál ze složené funkce a počítal následovně: $$\int \sin (x^2 )\mathrm{d}x =-\cos (x^2 ) \cdot 2x+c $$
Chris věděl, že se nejedná o jednoduchý integrál a postupoval takto: $$ \begin{gather}\int \sin(x^2 )\mathrm{d}x =\int [1-\cos(x^2 ) ]\mathrm{d}x =x-\int \cos(x^2 )\mathrm{d}x = \cr =x-\int [1-\sin(x^2 ) ]\mathrm{d}x =x-x-\int \sin(x^2 )\mathrm{d}x \end{gather} $$ Na pravé straně vyšel stejný integrál jako ten, který počítáme, proto Chris sestavil rovnici: $$ 2\int \sin(x^2 )\mathrm{d}x =x-x=0. $$ Vyšlo mu, že hledaný integrál je roven nule.
David se rozhodl použít substituci $x^2=t$ a spočítal vztah mezi diferenciály $2x\mathrm{d}x =\mathrm{d}t$, z čehož odvodil vztah $\mathrm{d}x =\frac{\mathrm{d}t}{2x}$. Poté pokračoval ve výpočtu: $$\int \sin(x^2 )\mathrm{d}x =\int \sin t \frac{\mathrm{d}t}{2x} $$ Pak si uvědomil, že člen $\frac{1}{2x}$ může vytknout před integrál, protože integrujeme podle proměnné $t$. Pokračoval proto následovně: $$\int \sin t \frac{\mathrm{d}t}{2x} = \frac{1}{2x} \int \sin t\, \mathrm{d}t= \frac{1}{2x} (-\cos t ) $$ Nakonec se vrátil k původní proměnné ($t=x^2$ ), přičetl integrační konstantu a obdržel výslednou primitivní funkci: $$-\frac{1}{2x} \cos(x^2)+c $$ Vypočítal někdo z nich integrál správně?
Nikdo
Adam
Bob
Chris
David
Přestože neurčitý integrál $$\int \sin(x^2 )\mathrm{d}x $$ vypadá na první pohled jednoduše, nelze jej běžnými metodami spočítat, resp. není možné jej vyjádřit pomocí elementárních funkcí. Hledanou primitivní funkcí je Fresnelova funkce $S(x)$ definovaná vztahem: $$ S(x)=∫_0^x \sin(t^2 )\mathrm{d}t $$ Jinými slovy se jedná o funkci, která je definována právě tím integrálem, který jsme měli za úkol spočítat. Každý ze studentů se při řešení dopustil zásadní chyby. Adam například vůbec nepracoval s argumentem $x^2$ funkce $\sin x^2$. Bob nesprávně kombinoval integraci s derivací vnitřní funkce. Chris nepochopil rozdíl mezi $\sin^2 x$ a $\sin(x^2)$, což vedlo k nesprávné interpretaci goniometrického vzorce. Navíc pak udělal chybu ve znaménku u integrálu. David vytknul před integrál výraz obsahující proměnnou, což nelze.