Uczniowie Adam, Bob, Chris i David mieli za zadanie rozwiązać całkę nieoznaczoną: $$\int \sin(x^2 )\mathrm{d}x$$
Adam uznał całkę za prostą i natychmiast ją rozwiązał: $$\int \sin (x^2 )\mathrm{d}x =-\cos (x^2 )+c$$
Bob zdał sobie sprawę, że jest to całka z funkcji zespolonej i rozwiązał ją w następujący sposób: $$\int \sin (x^2 )\mathrm{d}x =-\cos (x^2 ) \cdot 2x+c $$
Chris zdał sobie sprawę, że nie jest to prosta całka i postępował w następujący sposób: $$ \begin{gather}\int \sin(x^2 )\mathrm{d}x =\int [1-\cos(x^2 ) ]\mathrm{d}x =x-\int \cos(x^2 )\mathrm{d}x = \cr =x-\int [1-\sin(x^2 ) ]\mathrm{d}x =x-x-\int \sin(x^2 )\mathrm{d}x \end{gather} $$ Skończył z tą samą całką po obu stronach i przekształcił równanie do postaci: $$ 2\int \sin(x^2 )\mathrm{d}x =x-x=0, $$ stwierdzając, że całka wynosi zero.
David zdecydował się użyć zamiennika $x^2=t$i znalazł związek między różnicami $2x\mathrm{d}x =\mathrm{d}t$, z którego zaczerpnął $\mathrm{d}x =\frac{\mathrm{d}t}{2x}$. Następnie kontynuował w następujący sposób: $$\int \sin(x^2 )\mathrm{d}x =\int \sin t \frac{\mathrm{d}t}{2x} $$ Zdał sobie sprawę, że $\frac{1}{2x}$ można było odjąć, ponieważ całkował względem zmiennej t i kontynuował: $$\int \sin t \frac{\mathrm{d}t}{2x} = \frac{1}{2x} \int \sin t\, \mathrm{d}t= \frac{1}{2x} (-\cos t ) $$ W końcu powrócił do oryginalnej zmiennej ($t=x^2$ ), dodaliśmy stałą całkowania i otrzymaliśmy przeciwdziedzinę: $$-\frac{1}{2x} \cos(x^2)+c $$ Czy ktoś poprawnie rozwiązał całkę?
Nikt
Adam
Bob
Chris
David
Podczas gdy całka nieoznaczona $$\int \sin(x^2 )\mathrm{d}x $$ może wydawać się proste na pierwszy rzut oka, nie można go rozwiązać przy użyciu standardowych metod. W szczególności, nie jest możliwe wyrażenie go w postaci funkcji elementarnych. Poszukiwaną przeciwdziedziną jest całka Fresnela $S(x)$ zdefiniowana wzorem: $$ S(x)=∫_0^x \sin(t^2 )\mathrm{d}t $$ Innymi słowy, jest to funkcja zdefiniowana dokładnie przez całkę, którą mieliśmy rozwiązać. Każdy z uczniów popełnił podstawowy błąd w swoim rozwiązaniu. Na przykład Adam nie wziął pod uwagę argumentu $x^2$funkcji $\sin x^2$ w ogóle. Bob niepoprawnie połączył całkowanie z różniczkowaniem funkcji wewnętrznej, a Chris nie zrozumiał różnicy między $\sin^2 x$ i $\sin(x^2)$ co doprowadziło do błędnej interpretacji tożsamości trygonometrycznej. Chris popełnił również błąd w znaku przed całką. David wyłączył z całki wyrażenie zawierające zmienną, co jest niedozwolone.