A los estudiantes Adam, Bob, Chris y David se les encargó resolver la integral indefinida: $$\int \sin(x^2 )\mathrm{d}x$$
Adam consideró la integral simple y la resolvió inmediatamente: $$\int \sin (x^2 )\mathrm{d}x =-\cos (x^2 )+c$$
Bob se dio cuenta de que era una integral de una función compuesta y la resolvió de la siguiente manera: $$\int \sin (x^2 )\mathrm{d}x =-\cos (x^2 ) \cdot 2x+c $$
Chris reconoció que no era una integral sencilla y procedió de la siguiente manera: $$ \begin{gather}\int \sin(x^2 )\mathrm{d}x =\int [1-\cos(x^2 ) ]\mathrm{d}x =x-\int \cos(x^2 )\mathrm{d}x = \cr =x-\int [1-\sin(x^2 ) ]\mathrm{d}x =x-x-\int \sin(x^2 )\mathrm{d}x \end{gather} $$ Terminó con la misma integral en ambos lados y reordenó la ecuación en la forma: $$ 2\int \sin(x^2 )\mathrm{d}x =x-x=0, $$ concluyendo que la integral era cero.
David decidió utilizar la sustitución $x^2=t$ y halló la relación entre diferenciales $2x\mathrm{d}x =\mathrm{d}t$, de la que dedujo $\mathrm{d}x =\frac{\mathrm{d}t}{2x}$. A continuación, procedió de la siguiente manera: $$\int \sin(x^2 )\mathrm{d}x =\int \sin t \frac{\mathrm{d}t}{2x} $$ Se dio cuenta de que $\frac{1}{2x}$ se podía factorizar porque integraba con respecto a la variable t y prosiguió: $$\int \sin t \frac{\mathrm{d}t}{2x} = \frac{1}{2x} \int \sin t\, \mathrm{d}t= \frac{1}{2x} (-\cos t ) $$ Finalmente, volvió a la variable original ($t=x^2$ ), añadió la constante de integración, y obtuvo la antiderivada resultante: $$-\frac{1}{2x} \cos(x^2)+c $$ ¿Alguien resolvió correctamente la integral?
Nadie
Adam
Bob
Chris
David
Mientras que la integral indefinida $$\int \sin(x^2 )\mathrm{d}x $$ puede parecer simple a primera vista, no puede resolverse utilizando métodos estándar. En concreto, no es posible expresarla en términos de funciones elementales. La antiderivada buscada es la integral de Fresnel $S(x)$ definida por la fórmula: $$ S(x)=∫_0^x \sin(t^2 )\mathrm{d}t $$ En otras palabras, es la función definida precisamente por la integral que debíamos resolver. Cada estudiante cometió un error fundamental en su solución. Por ejemplo, Adam no consideró en absoluto el parámetro $x^2$ de la función $\sin x^2$. Bob combinó incorrectamente la integración con la diferenciación de la función interior y Chris no entendió la diferencia entre $\sin^2 x$ y $\sin(x^2)$ lo que le llevó a una interpretación incorrecta de la identidad trigonométrica. Chris también cometió un error en el signo antes de la integral. David eliminó de la integral una expresión que contenía la variable, lo que no está permitido.