Jurajovi bola zadaná funkcia: $$ f(x) = 3x^2 - 1 $$ Jeho úlohou bolo nájsť reálne číslo $a$, pre ktoré platí rovnica $$ f(4a) - f(a + 4) = 45a^2.$$
Juraj vyriešil úlohu nasledovne: 1) Najprv vypočítal hodnotu funkcie pre $x = 4a$: $$ f(4a) = 3(4a)^2 - 1 = 3 \cdot 16a^2 - 1 = 48a^2 - 1 $$
2) Potom vypočítal hodnotu funkcie pre $x = a + 4$: $$ f(a + 4) = 3a^2 - 1 + 4 = 3a^2 + 3 $$
3) Odčítal hodnoty vypočítané v prvých dvoch krokoch a dostal: $$ 48a^2 - 1 - 3a^2 - 3 = 45a^2 - 4 $$
4) Za získaný rozdiel dosadil $45a^2$ a dostal rovnicu: $$ 45a^2 - 4 = 45a^2 $$
Nakoniec uviedol, že táto rovnica nemá riešenie. Juraj tvrdil, že hľadané reálne číslo $a$ neexistuje.
Urobil Juraj nejakú chybu? Ak áno, uveďte kde.
Áno, v kroku (1) je chyba. Správny výpočet by mal byť: $$ f(4a) = 3 \cdot 4 \cdot (a)^2 - 1 = 12a^2 - 1 $$
Áno, v kroku (1) je chyba. Správny výpočet by mal byť: $$ f(4a) = 3 \cdot 4a - 1 = 12a - 1 $$
Áno, v kroku (2) je chyba. Správny výpočet by mal byť: $$ f(a + 4) = 3(a + 4)^2 - 1 = 3(a^2 + 8a + 16) - 1 = 3a^2 + 24a + 47 $$
Áno, v kroku (3) je chyba. Výsledok odčítania $(48a^2 - 1)$ a $(3a^2 + 3)$ je nesprávny.
Áno, v kroku (4) je chyba. Riešením rovnice $45a^2 - 4 = 45a^2$ je ľubovoľné reálne číslo $a$.
Nie, celý postup je správny.
Krok (1) je správny: $$ f(4a) = 48a^2 - 1. $$ V kroku (2) mal byť správny výpočet: $$ f(a + 4) = 3(a + 4)^2 - 1 = 3(a^2 + 8a + 16) - 1 = 3a^2 + 24a + 47$$ Po dosadení vypočítaných hodnôt z prvých dvoch krokov do danej rovnice: $$ f(4a) - f(a + 4) = 45a^2 $$ dostaneme: $$ \begin{gather} (48a^2 - 1) - (3a^2 + 24a + 47) = 45a^2 \cr 45a^2 - 24a - 48 = 45a^2 \cr -24a = 48 \cr a = -2 \end{gather} $$