Georgowi przypisano funkcję $$ f(x) = 3x^2 − 1 $$ Jego zadaniem było znalezienie liczby rzeczywistej $a$, dla której zachodzi równanie $$ f(4a) - f(a + 4) = 45a^2.$$ George rozwiązał zadanie w następujący sposób:
1) Najpierw obliczył wartość funkcji przy $x = 4a$: $$ f(4a) = 3(4a)^2 − 1 = 3 \cdot 16a^2 − 1 = 48a^2 − 1 $$
2) Następnie obliczył wartość funkcji przy $x = a + 4$: $$ f(a + 4) = 3a^2 − 1 + 4 = 3a^2 + 3 $$
3) Odjął wartości obliczone w pierwszych dwóch krokach i otrzymał: $$ 48a^2 − 1 − 3a^2 − 3 = 45a^2 − 4 $$
4) Następnie ustawił tę różnicę na $45a^2$ i otrzymał równanie: $$ 45a^2 − 4 = 45a^2 $$ Na koniec stwierdził, że równanie to nie ma rozwiązania. George twierdził, że poszukiwana liczba rzeczywista $a$ nie istnieje.
Czy George popełnił jakieś błędy? Jeśli tak, określ gdzie.
Tak, w kroku (1) jest błąd. Prawidłowe obliczenia powinny wyglądać następująco: $$ f(4a) = 3 \cdot 4 \cdot (a)^2 − 1 = 12a^2 − 1 $$
Tak, w kroku (1) jest błąd. Prawidłowe obliczenia powinny wyglądać następująco: $$ f(4a) = 3 \cdot 4a − 1 = 12a − 1 $$
Tak, w kroku (2) jest błąd. Prawidłowe obliczenia powinny wyglądać następująco: $$ f(a + 4) = 3(a + 4)^2 − 1 = 3(a^2 + 8a + 16) − 1 = 3a^2 + 24a + 47 $$
Tak, w kroku (3) jest błąd. Wynik odejmowania $(48a^2 - 1)$ i $(3a^2 + 3)$ jest nieprawidłowy.
Tak, w kroku (4) jest błąd. Rozwiązaniem równania $45a^2 - 4 = 45a^2$ jest dowolna liczba rzeczywista $a$.
Nie, cała procedura jest prawidłowa.
Krok (1) jest prawidłowy: $$ f(4a) = 48a^2 − 1. $$ W kroku (2) prawidłowe obliczenia powinny wyglądać następująco: $$ f(a + 4) = 3(a + 4)^2 − 1 = 3(a^2 + 8a + 16) − 1 = 3a^2 + 24a + 47$$ Po podstawieniu obliczonych wartości z pierwszych dwóch kroków do podanego równania: $$ f(4a) − f(a + 4) = 45a^2 $$ otrzymujemy: $$ \begin{gather} (48a^2 − 1) − (3a^2 + 24a + 47) = 45a^2 \cr 45a^2 − 24a − 48 = 45a^2 \cr −24a = 48 \cr a = −2 \end{gather} $$