A George se le asignó la función: $$ f(x) = 3x^2 − 1 $$ Se le encargó encontrar el número real $a$ para el que se cumple la ecuación $$ f(4a) − f(a + 4) = 45a^2 $$
George resolvió la tarea de la siguiente manera:
1) Primero calculó el valor de la función en $x = 4a$: $$ f(4a) = 3(4a)^2 − 1 = 3 \cdot 16a^2 − 1 = 48a^2 − 1 $$
2) A continuación, calculó el valor de la función en $x = a + 4$: $$ f(a + 4) = 3a^2 − 1 + 4 = 3a^2 + 3 $$
3) Restó los valores calculados en los dos primeros pasos y obtuvo: $$ 48a^2 − 1 − 3a^2 − 3 = 45a^2 − 4 $$
4) A continuación, fijó esa diferencia igual a $45a^2$ y obtuvo la ecuación: $$ 45a^2 − 4 = 45a^2 $$ Por último, afirmó que esta ecuación no tiene solución. George afirmó que el número real buscado $a$ no existe.
¿Ha cometido George algún error? En caso afirmativo, señala dónde.
Sí, hay un error en el paso (1). El cálculo correcto debería ser: $$ f(4a) = 3 \cdot 4 \cdot (a)^2 − 1 = 12a^2 − 1 $$
Sí, hay un error en el paso (1). El cálculo correcto debería ser: $$ f(4a) = 3 \cdot 4a − 1 = 12a − 1 $$
Sí, hay un error en el paso (2). El cálculo correcto debería ser: $$ f(a + 4) = 3(a + 4)^2 − 1 = 3(a^2 + 8a + 16) − 1 = 3a^2 + 24a + 47 $$
Sí, hay un error en el paso (3). El resultado de restar $(48a^2 − 1)$ y $(3a^2 + 3)$ es incorrecto.
Sí, hay un error en el paso (4). La solución de la ecuación $45a^2 − 4 = 45a^2$ es cualquier número real $a$.
No, todo el procedimiento es correcto.
El paso (1) es correcto: $$ f(4a) = 48a^2 − 1. $$ En el paso (2), el cálculo correcto debería haber sido: $$ f(a + 4) = 3(a + 4)^2 − 1 = 3(a^2 + 8a + 16) − 1 = 3a^2 + 24a + 47$$ Después de sustituir los valores calculados de los dos primeros pasos en la ecuación dada: $$ f(4a) − f(a + 4) = 45a^2 $$ obtuvimos: $$ \begin{gather} (48a^2 − 1) − (3a^2 + 24a + 47) = 45a^2 \cr 45a^2 − 24a − 48 = 45a^2 \cr −24a = 48 \cr a = −2 \end{gather} $$