Dobrý deň, volám sa Iva. Včera som riešila túto úlohu: Na obrázku je znázornená kvadratická funkcia $f(x)=x^2+px+q$, kde $p,q\in \mathbb{R}$ a je na nej vyznačený bod $A$. Určte súradnice bodu $A$.
Tu je moje riešenie: 1) Najprv som dosadila súradnice bodu $[0;-10]$ do rovnice funkcie $f$ a po úprave som dostala $q$: $$ \begin{gather} -10=0+0p+q \cr q=-10 \end{gather} $$
2) Potom som dosadila súradnice bodu $[2; 0]$ do rovnakej rovnice: $$ 0=4+2p+q $$ S využitím $q=-10$ som našla $p$: $$ \begin{gather} 0=4+2p-10\cr -2p=4-10\cr -2p=-6\cr p=3 \end{gather} $$ 3) Bola som presvedčená, že súčet koreňov kvadratickej rovnice $x^2+px+q=0$ je $-p$. Keďže som na grafe rovnice $f$ videla, že jeden z koreňov je $x_1=2$, dosadila som ho do rovnice $x_1+x_2=-p$ a našla druhý koreň: $$ \begin{gather} 2+x_2=-3\cr x_2=-5 \end{gather} $$ 4) Dospela som k záveru, že súradnice bodu $A$ sú $[-5; 0]$. Moje riešenie potom komentovali moji priatelia:
Elisabeth: "Celý tvoj postup riešenia úlohy je správny, ale v kroku (4) si súradnice napísala nesprávne. Malo by to byť $[0; -5]$."
Michael: "V kroku (2) je chyba. Použitím $q=-10$ vznikne $$ \begin{gather} 0=2p+6\cr p=-3 \end{gather} $$ Zvyšok budeš musieť prepočítať."
Petra: "Máš správne riešenie, ale tvoj postup je zbytočne komplikovaný. Z obrázka vidíme, že jeden z koreňov je $x_1=2$. Takže v kroku (2) si mohla dosadiť tento koreň a $q=-10$ do Vietových vzťahov $x_1 \cdot x_2=q$ a získať rovnicu $2\cdot x_2=-10$. Druhý koreň je potom $x_2=-5$ a súradnice bodu $A$ sú $[-5; 0]$."
Roman: "Kroky (1) a (2) sú správne, ale potom by som úlohu riešil inak. Ak poznáme $p$ a $q$, môžeme kvadratickú funkciu $f$ zapísať ako: $$ f(x)=x^2+3x-10. $$ Úpravou na štvorec nájdete vrchol $V$ paraboly, ktorá je grafom funkcie $f$: $$ \begin{gather} f(x)=x^2+3x-10=x^2+3x+\left(\frac32\right)^2-\left(\frac32\right)^2-10=\left(x+\frac32\right)^2-\frac{49}{4} \cr V=\left[-\frac32; -\frac{49}{4}\right] \end{gather} $$
Bod $A$ je stredovo súmerný s bodom $[2; 0]$ vzhľadom na stred súmernosti $[-\frac32; 0]$. Prvá súradnica bodu $A$ je teda: $$ -\frac32-2=-\frac72 $$ Správne súradnice bodu $A$ sú teda $\left[-\frac72; 0\right]$.
Kto sa vo svojom komentári NEPOMÝLIL?
Petra
Elisabeth
Michael
Roman
Iva vyriešila túto úlohu správne.
Petra navrhla ďalšie, tiež správne riešenie pomocou Vietových vzťahov: Korene $x_1$ a $x_2$ kvadratickej rovnice $ax^2+bx+c=0$ spĺňajú tieto rovnice: $$ x_1+x_2=-\frac{b}{a},~~~x_1\cdot x_2=\frac{c}{a} $$
Elisabeth napísala konečné súradnice nesprávne. Ak je bod $A$ na osi $x$, potom je druhá súradnica nulová.
Michael nesprávne opravil krok (2).
Roman postupoval správne, avšak nesprávne vypočítal prvú súradnicu bodu $A$. Správny výpočet mal byť: $$ -\frac32-\frac32-2=-\frac{10}2=-5 $$
