Předpis funkce

Ahoj, jmenuji se Iva. Včera jsem řešila tuto úlohu:

Na obrázku je graf kvadratické funkce $f(x)=x^2+px+q$, kde $p,q\in \mathbb{R}$. V grafu je vyznačen bod $A$. Určete souřadnice tohoto bodu.

Toto je mé řešení:

1) Nejprve jsem dosadila souřadnice bodu $[0;-10]$ do rovnice funkce $f$. Ze získané rovnice jsem vypočítala $q$: $$ \begin{gather} -10=0+0p+q \cr q=-10 \end{gather} $$

2) Pak jsem do stejné rovnice dosadila souřadnice bodu $[2; 0]$: $$ 0=4+2p+q $$ S použitím $q=-10$ jsem vypočítala $p$: $$ \begin{gather} 0=4+2p-10\cr -2p=4-10\cr -2p=-6\cr p=3 \end{gather} $$

3) Věděla jsem, že součet kořenů kvadratické rovnice $x^2+px+q=0$ je $-p$. Z grafu funkce $f$ bylo zřejmé, že jedním z kořenů je $x_1=2$, Do rovnice $x_1+x_2=-p$ jsem tedy dosadila $p$ i $x_1$ a tak jsem získala další kořen: $$ \begin{gather} 2+x_2=-3\cr x_2=-5 \end{gather} $$

4) Došla jsem k závěru, že souřadnice bodu $A$ jsou $[-5; 0]$.

Kamarádi komentovali mé řešení:

Alžběta: „Celý tvůj postup je správně, jen v kroku (4) jsi špatně napsala souřadnice bodu $A$. Správně měly být $[0; -5]$.“

Michal: „V kroku (2) je chyba. Když dosadíš $q=-10$, vyjde ti: $$ \begin{gather}
0=2p+6\cr p=-3 \end{gather} $$ A musíš přepočítat zbytek.“

Petra: „Máš správné řešení, ale zbytečně složité. Z obrázku je vidět, že jeden z kořenů $x_1=2$. V kroku (2) tak můžeš dosadit tento kořen i $q=-10$ do Vietova vzorce $x_1 \cdot x_2=q$. Tím získáš rovnici $2\cdot x_2=-10$. Druhý kořen je tedy $x_2=-5$ a bod $A$ má souřadnice $[-5; 0]$.“

Roman: „Kroky (1) a (2) máš správně, ale dál bych úlohu řešil jinak. Když víš $p$ a $q$, můžeš zapsat rovnici kvadratické funkce $f$ takto: $$ f(x)=x^2+3x-10. $$ Doplněním na čtverec pak najdeš souřadnice vrcholu $V$ paraboly, která je grafem funkce $f$: $$ \begin{gather} f(x)=x^2+3x-10=x^2+3x+\left(\frac32\right)^2-\left(\frac32\right)^2-10=\left(x+\frac32\right)^2-\frac{49}{4} \cr V=\left[-\frac32; -\frac{49}{4}\right] \end{gather} $$ Bod $A$ je s bodem $[2; 0]$ středově souměrný podle bodu $[-\frac32; 0]$ . Tudíž první souřadnice bodu $A$ je: $$ -\frac32-2=-\frac72 $$ Správné souřadnice bodu $A$ jsou tedy $\left[-\frac72; 0\right]$.“

Kdo NEUDĚLAL ve svém komentáři chybu?