PIN kód pozostáva zo $4$ číslic. Tomáš chcel vedieť, koľko rôznych PIN kódov môže vytvoriť, ak sa číslica v PIN kóde môže opakovať najviac dvakrát. Tomáš riešil úlohu nasledujúcim spôsobom: (1) Uvedomil si, že môže použiť celkovo $10$ číslic. (2) Najprv vypočítal celkový počet rôznych PIN kódov bez ohľadu na opakovanie jednotlivých číslic. Podľa Tomáša existuje $10^4=10\,000$ možností. (3) Ďalej Tomáš vypočítal počet možných PIN kódov, ktoré nespĺňajú danú podmienku a to konkrétne tých, ktoré obsahujú číslicu, ktorá sa opakuje presne trikrát:
$\qquad$ a) Existuje $10$ rôznych trojíc zložených z rovnakej číslice. $\qquad$ b) Pre každú takúto trojicu existujú $4$ rôzne umiestnenia číslic v PINe.
$\qquad$ c) Trojicu rovnakých číslic možno doplniť do PIN kódu pomocou jednej z $10$ rôznych číslic.
$\qquad$ d) Preto existuje spolu $4\cdot10\cdot10=400$ PIN kódov obsahujúcich trojicu rovnakých číslic.
(4) Tomáš nezabudol na "zakázané" PIN kódy pozostávajúce zo štyroch rovnakých číslic. Podľa Tomáša ich je $10$. (5) Nakoniec Tomáš odčítal počet všetkých "zakázaných" PIN kódov od celkového počtu všetkých možných PIN kódov a získal: $10^4-400-10=9\,590$ rôznych PIN kódov, ktoré spĺňajú danú podmienku.
Urobil Tomáš vo svojej úvahe chybu?
Nie. Tomáš vyriešil problém správne.
Áno. V kroku (2) urobil chybu. Celkový počet rôznych PIN kódov bez ohľadu na opakovanie číslic je $10\cdot9\cdot8\cdot7=5\,040$. Teda možno vytvoriť 5 040-400-10=4 630 rôznych PIN kódov, ktoré spĺňajú danú podmienku.
Áno, urobil chybu v kroku (3b). Trojica môže byť v PINe usporiadaná len $3$ spôsobmi. Preto existuje celkom $3\cdot10\cdot10=300$ rôznych PIN kódov obsahujúcich trojicu rovnakých číslic. Teda je možné vytvoriť $10^4-300-10=9\,690$ rôznych PIN kódov, ktoré spĺňajú danú podmienku.
Áno. V kroku (3c) urobil chybu. Trojicu rovnakých číslic možno doplniť do platného PIN kódu s presne $9$ rôznymi číslicami. Preto existuje celkom $4\cdot10\cdot9=360$ PIN kódov obsahujúcich trojicu rovnakých číslic. Teda je možné vytvoriť $10^4-360-10=9\,630$ rôznych PIN kódov, ktoré spĺňajú danú podmienku.