PIN je tvořen $4$ číslicemi. Kolik různých PINů může Tomáš vytvořit, pokud se v něm číslice mohou opakovat nejvýše dvakrát? Tom vyřešil problém takto:
(1) Tomáš ví, že může použít celkem $10$ číslic.
(2) Nejprve spočítal počet všech různých PINů bez ohledu na počet opakování jednotlivých číslic. Takových možností je podle Tomáše $10^4=10\,000$.
(3) Dále Tomáš spočítal počet možných PINů, které nesplňují danou podmínku, protože se v nich některá číslice opakuje právě třikrát:
$\qquad$ a) Různých trojic složených ze stejných číslic je $10$.
$\qquad$ b) Pro každou takovou trojici pak existují v PINu $4$ různá umístění.
$\qquad$ c) Trojici stejných číslic lze doplnit na PIN právě $10$ číslicemi.
$\qquad$ d) Celkem je tedy $4\cdot10\cdot10=400$ PINů obsahujících trojici stejných číslic.
(4) Tomáš nezapomněl ani na "zakázané" PINy tvořené čtveřicí stejných číslic. Těch je podle Tomáše $10$.
(5) Tomáš odečetl od celkového počtu možností počet "zakázaných" PINů a dostal: $$10^4-400-10=9\,590$$ různých PINů, které splňují danou podmínku.
Udělal Tomáš ve svých úvahách chybu?
Ne. Tomáš úlohu vyřešil správně.
Ano. Tomáš udělal chybu v kroku (2). Počet různých PINů bez ohledu na počet opakování číslic je $10\cdot9\cdot8\cdot7=5\,040$. Vytvořit tak lze $5\,040-400-10=4\,630$ různých PINů, které splňují danou podmínku.
Ano. Tomáš udělal chybu v kroku (3b). Trojice je možné v PINu rozmístit pouze $3$ způsoby. Celkem je tedy $3\cdot10\cdot10=300$ různých PINů obsahujících trojici stejných číslic. Vytvořit tak lze $10^4-300-10=9\,690$ různých PINů, které splňují danou podmínku.
Ano. Tomáš udělal chybu v kroku (3c). Trojici stejných číslic lze doplnit na platný PIN právě $9$ číslicemi. Celkem je tedy $4\cdot10\cdot9=360$ PINů obsahujících trojici stejných čísel. Vytvořit tak lze $10^4-360-10=9\,630$ různých PINů, které splňují danou podmínku.