Petra mala zistiť, či sa funkcie $f$, $g$ a $h$ rovnajú. $$ f(x)=\frac{x^2-1}{x+1};~~~g(x)=x-1;~~~h(x)=2^{\log_2(x-1) } $$
Rovnice funkcií $f$ a $h$ zjednodušila takto: $$ \frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}=x-1 $$ $$ 2^{\log_2(x-1)} =x-1 $$
Usúdila teda, že funkcie sa rovnajú: $$ f=g=h $$
Jej spolužiaci komentovali jej riešenie:
Janko tvrdí, že na určenie rovnosti funkcií nestačí ukázať, že ich predpisy sú rovnaké. Potrebujeme poznať aj ich definičné obory, ktoré nie sú dané. Preto je tento problém neriešiteľný.
Erika hovorí, že definičné obory nie sú potrebné. Ak majú funkcie po zjednodušení rovnaké predpisy, potom sú rovnaké. Hovorí, že Petra vyriešila úlohu správne.
Sára hovorí, že ak definičné obory nie sú dané, musíme ich nájsť. Definičné obory určila takto: $$D(f)=D(g)=D(h)=\mathbb{R} -\{ -1 \}$$ Je presvedčená, že funkcie sa rovnajú.
Karol si myslí, že predpisy funkcií by sa nemali zjednodušovať. Ale aj tak súhlasí s tým, že $f=g=h$. Ak napríklad dosadíme $x=5$, vidíme, že $f(5)=g(5)=h(5)=4$. Kto z nich má pravdu?
Nikto
Erika
Janko
Karol
Sára
Dve funkcie sa rovnajú, ak sú ich definičné obory rovnaké a pre všetky premenné z definičného oboru dávajú zhodné funkčné hodnoty.
Ak definičné obory funkcií nie sú dané, musíme ich určiť. Definičný obor je množina všetkých hodnôt, pre ktoré má daný výraz zmysel. V našom prípade sú definičné obory: $$ D(f)=\mathbb{R}-\{-1\},~D(g)=\mathbb{R},~D(h)=(1;\infty) $$ Funkcie sa nerovnajú, pretože ich definičné obory nie sú zhodné.