Petra měla rozhodnout, zda jsou si funkce $f$, $g$ a $h$ rovny. $$ f(x)=\frac{x^2-1}{x+1};~~~g(x)=x-1;~~~h(x)=2^{\log_2(x-1) } $$ Zjednodušila předpisy funkcí $f$ a $h$ takto: $$ \frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}=x-1 $$ $$ 2^{\log_2(x-1)} =x-1 $$ Usoudila, že funkce jsou si rovny. $$ f=g=h $$
Spolužáci komentovali její řešení:
Honza tvrdil, že k určení rovnosti funkcí nestačí ukázat, že mají stejné předpisy. Je nutné také znát jejich definiční obory. Ty v této úloze nejsou zadány. Úloha je tedy neřešitelná.
Erika řekla, že definiční obor nepotřebujeme. Jestliže mají funkce po úpravě stejný předpis, jsou si rovny. Podle ní Petra úlohu vyřešila správně.
Sára mínila, že pokud definiční obory nejsou zadány, musíme je najít. Určila je takto: $$D(f)=D(g)=D(h)=\mathbb{R} -\{ -1 \}$$ Došla k závěru, že funkce jsou si rovny.
Karel si myslel, že předpisy funkcí nelze upravovat. Stejně ale souhlasil s tím, že $f=g=h$. Pokud například dosadíme $x=5$, je zřejmé, že $f(5)=g(5)=h(5)=4$.
Kdo z nich měl pravdu?
Nikdo
Erika
Honza
Karel
Sára
Dvě funkce jsou si rovny, jestliže mají stejné definiční obory a pro všechny proměnné z definičního oboru dávají shodné funkční hodnoty.
Jestliže definiční obory funkcí nejsou uvedeny, musíme je určit. Definiční obor je množina hodnot, pro které má zadaný výraz smysl. V naší úloze jsou definiční obory: $$ D(f)=\mathbb{R}-\{-1\},~D(g)=\mathbb{R},~D(h)=(1;\infty) $$ Funkce si nejsou rovny, protože nemají stejné definiční obory.