Učiteľ zadal triede úlohu vyriešiť logaritmickú rovnicu. Peter sa prihlásil, že vyrieši úlohu na tabuli. Trieda pozorovala Petrovo riešenie a konštatovala, že jeho postup nebol správny. Daná je logaritmická rovnica: $$ \log_3(x-1)+1= \log_3x $$ (1) Najprv Peter určil podmienky oboch logaritmov a definičný obor rovnice: $$ \begin{gather} x-1>0 \wedge x>0 \cr x \in (1;\infty) \end{gather} $$ (2) Potom s použitím pravidiel logaritmovania upravil ľavú stranu rovnice: $$ \log_3( x-1+1)= \log_3x $$ (3) Potom zjednodušením rovnice získal: $$ \begin{gather} \log_3x= \log_3x \cr 0=0 \end{gather} $$ Znamená to, že každé číslo z intervalu $(0;\infty)$ je riešením rovnice: $\log_3x=\log_3x$.
(4) Z toho Peter usúdil, že každé číslo z intervalu danej rovnice je jej riešením. Takže interval $(1;\infty)$ je množina riešení rovnice $\log_3(x-1)+1= \log_3x$. Kde urobil Peter chybu?
Chyba je v kroku (1) v podmienke. Správne by mala byť: $$ x-1 \geq 0 \wedge x \geq 0 $$
Chyba je v kroku (2). Úprava ľavej strany rovnice je nesprávna.
Chyba je v kroku (3). Nie je možné získať rovnaký výraz na oboch stranách rovnice.
Chyba je v kroku (3). Rovnica v tomto kroku nemá riešenie.
Podmienka oboch logaritmov bola určená správne. Peter urobil chybu v kroku (2). Ukážme si správne riešenie: $$ \begin{aligned} \log_3(x-1)+1 & = \log_3x \cr \log_3(x-1)+ \log_33 & = \log_3x \cr \log_3 (3(x-1)) & = \log_3x \cr \log_3(3x-3) & = \log_3x \cr 3x-3 & = x \cr 2x & = 3 \cr x & = \frac32 \end{aligned} $$ Koreň $x=\frac32$ patrí do definičného oboru rovnice, a preto má rovnica jedno riešenie. Môžeme (ale nemusíme) vykonať skúšku: $$ \begin{aligned} L &= \log_3 \left( \frac32-1\right )+1= \log_3 \frac12+1= \log_3 \frac12+ \log_33= \log_3 \frac32 \cr P &= \log_3 \frac32 \cr L &= P \end{aligned} $$