Učitel pověřil třídu vyřešením logaritmické rovnice. Petr se přihlásil na řešení logaritmické rovnice na tabuli. Třída ho sledovala a v závěru konstatovala, že jeho postup byl chybný. Logaritmická rovnice je: $$ \log_3(x-1)+1= \log_3x $$
(1) Nejdříve Petr určil podmínky pro existenci obou logaritmů a určil definiční obor rovnice: $$ \begin{gather} x-1>0 \wedge x>0 \cr x \in (1;\infty) \end{gather} $$
(2) Potom využil věty o počítání s logaritmy a upravil levou stranu rovnice: $$ \log_3( x-1+1)= \log_3x $$
(3) Potom rovnici upravil a získal: $$ \begin{gather} \log_3x= \log_3x \cr 0=0 \end{gather} $$ To znamená, že každé číslo z intervalu $(0;\infty)$ je řešením rovnice: $\log_3x=\log_3x$.
(4) Poté Petr prohlásil, že každé číslo z definičního oboru zadané rovnice je jejím řešením. Interval $(1;\infty)$ je tedy množinou řešení rovnice $\log_3(x-1)+1= \log_3x$.
Kde udělal Petr chybu?
Chyba je v kroku (1) v definičním oboru. Správně má být $$ x-1 \geq 0 \wedge x \geq 0 $$
Chyba je v kroku (2). Úprava levé strany rovnice je chybná.
Chyba je v kroku (3). Není možné dostat stejný výraz na levé i pravé straně rovnice.
Chyba je v kroku (3). Rovnice uvedená v tomto kroku nemá řešení.
Existence podmínek pro oba logaritmy bylo určeno správně. Petr udělal chybu v kroku (2). Ukážeme si správné řešení: $$ \begin{aligned} \log_3(x-1)+1 & = \log_3x \cr \log_3(x-1)+ \log_33 & = \log_3x \cr \log_3 (3(x-1)) & = \log_3x \cr \log_3(3x-3) & = \log_3x \cr 3x-3 & = x \cr 2x & = 3 \cr x & = \frac32 \end{aligned} $$ Kořen $x=\frac32$ patří do definičního oboru rovnice a proto rovnice má jednou unikátní řešení. Můžeme (ale nemusíme) udělat zkoušku: $$ \begin{aligned} L &= \log_3 \left( \frac32-1\right )+1= \log_3 \frac12+1= \log_3 \frac12+ \log_33= \log_3 \frac32 \cr P &= \log_3 \frac32 \cr L &= P \end{aligned} $$