Nauczyciel zlecił klasie rozwiązanie równania logarytmicznego. Peter zgłosił się na ochotnika, aby wykonać rozwiązanie na tablicy. Klasa obserwowała rozwiązanie Piotra i stwierdziła, że jego procedura nie była poprawna. Równanie logarytmiczne ma postać: $$ \log_3(x-1)+1= \log_3x $$
(1) Najpierw Peter określił warunek istnienia dla obu logarytmów, który określa również dziedzinę równania: $$ \begin{gather} x-1>0 \wedge x>0 \cr x \in (1;\infty) \end{gather} $$
(2) Następnie, stosując zasady logarytmu, zmodyfikował lewą stronę równania: $$ \log_3( x-1+1)= \log_3x $$
(3) Następnie, upraszczając równanie, otrzymał: $$ \begin{gather} \log_3x= \log_3x \cr 0=0 \end{gather} $$ co oznacza, że każda liczba z przedziału $(0;\infty)$ jest rozwiązaniem równania: $\log_3x=\log_3x$.
(4) W rezultacie Peter doszedł do wniosku, że każda liczba z dziedziny danego równania jest rozwiązaniem. Zatem interwał $(1;\infty)$ jest zbiorem rozwiązań równania $\log_3(x-1)+1= \log_3x$.
Gdzie Peter popełnił błąd?
Błąd tkwi w kroku (1) w warunku istnienia. Powinno być: $$ x-1 \geq 0 \wedge x \geq 0 $$
Błąd tkwi w kroku (2). Modyfikacja jest nieprawidłowa.
Błąd tkwi w kroku (3). Nie jest możliwe uzyskanie tego samego wyrażenia po obu stronach równania.
Błąd tkwi w kroku (3). Równanie w tym kroku nie ma rozwiązania.
Warunek istnienia obu logarytmów został określony poprawnie. Petr popełnił błąd w kroku (2). Pokażmy poprawne rozwiązanie: $$ \begin{aligned} \log_3(x-1)+1 & = \log_3x \cr \log_3(x-1)+ \log_33 & = \log_3x \cr \log_3 (3(x-1)) & = \log_3x \cr \log_3(3x-3) & = \log_3x \cr 3x-3 & = x \cr 2x & = 3 \cr x & = \frac32 \end{aligned} $$ Źródło $x=\frac32$ należy do dziedziny równania, więc równanie ma jedno unikalne rozwiązanie. Możemy (ale nie musimy) wykonać sprawdzenie: $$ \begin{aligned} L &= \log_3 \left( \frac32-1\right )+1= \log_3 \frac12+1= \log_3 \frac12+ \log_33= \log_3 \frac32 \cr P &= \log_3 \frac32 \cr L &= P \end{aligned} $$