Ján dostal za úlohu nájsť inflexné body grafu funkcie: $$ f(x)=x^4-4x^3+6x^2-5x $$ (1) Najprv sa rozhodol nájsť druhú deriváciu: $$ f''(x)=12x^2-24x+12 $$ (2) Potom položil druhú deriváciu rovnú nule a dostal rovnicu: $$ 12x^2-24x+12=0 $$ (3) Zjednodušil rovnicu na: $$ x^2-2x+1=0 $$ a prepísaním ľavej strany ako $(x-1)^2$ dostal: $$ (x-1)^2=0 $$ Uviedol, že jediným riešením tejto rovnice je $x=1$.
(4) Dosadením $x=1$ do predpisu funkcie Ján vypočítal: $$ f(1)=1^4-4 \cdot 1^3+6 \cdot 1^2-5 \cdot 1=-2 $$ a dospel k záveru, že bod $[1;-2]$ je teda inflexným bodom grafu funkcie $f$.
Je jeho riešenie správne? Ak nie, uveďte, v ktorom kroku urobil Ján chybu.
Áno, postup je správny.
Nie. V kroku (1) urobil chybu. Druhá derivácia je nesprávna.
Nie, urobil chybu v kroku (3). Rovnica má dve riešenia $x=1$ a $x=-1$.
Nie. Chyba je v kroku (4). Bod [$1;-2]$ nie je inflexný bod.
Nie. Celé riešenie je nesprávne. Prvá derivácia by mala byť rovná nule, aby sme získali inflexné body.
V inflexnom bode musí byť druhá derivácia (ak existuje) rovná $0$, zároveň však musí zmeniť znamienko, aby došlo k zmene z rýdzo konvexného priebehu na rýdzo konkávny alebo naopak.
V našej úlohe máme $$ f''(x)=12x^2-24x+12=12 \cdot (x^2-2x+1)=12(x-1)^2, $$ čo je výraz, ktorý nikdy nie je záporný. To znamená, že funkcia $f$ je konvexná na $\mathbb{R}$, čo je zrejmé aj z jej grafu (pozri obrázok). Preto bod $[1;-2]$ nie je inflexným bodom.
