Honza měl za úkol najít inflexní body grafu funkce $$ f(x)=x^4-4x^3+6x^2-5x $$ (1) Spočítal proto nejprve druhou derivaci: $$ f''(x)=12x^2-24x+12 $$ (2) Následně ji položil rovnu nule. Řešil tedy rovnici $$ 12x^2-24x+12=0, $$ (3) kterou upravil na tvar $$ x^2-2x+1=0. $$ Levou stranu přepsal jako $(x-1)^2$ a dostal rovnici: $$ (x-1)^2=0. $$ Jediným řešením této rovnice je $x=1$.
(4) Dosazením za $x=1$ do funkčního předpisu pak dopočítal: $$ f(1)=1^4-4 \cdot 1^3+6 \cdot 1^2-5 \cdot 1=-2. $$ Z toho Honza usoudil, že bod [1;-2] je inflexním bodem grafu funkce $f$.
Je jeho řešení správné? Pokud ne, identifikujte krok, ve kterém udělal Honza chybu.
Ano. Postup je v pořádku.
Ne. Chyba je v kroku (1). Druhá derivace je vypočítána chybně.
Ne. Chyba je v kroku (3). Rovnice má dvě řešení $x=1$ a $x=-1$.
Ne. Chyba je v kroku (4). Bod [$1;-2]$ není inflexním bodem.
Ne. Celé řešení je chybné. Inflexní body se počítají anulováním první derivace.
V inflexním bodě musí být druhá derivace (pokud existuje) rovna nule, zároveň však musí měnit znaménko, aby docházelo ke změně z ryze konvexního průběhu na ryze konkávní nebo obráceně. V naší úloze platí $$ f''(x)=12x^2-24x+12=12 \cdot (x^2-2x+1)=12(x-1)^2, $$ což je výraz, který nikdy není záporný. To znamená, že je funkce $f$ konvexní na $\mathbb{R}$, což je patrné i z jejího grafu na obrázku. Proto bod $[1;-2]$ není inflexní.
