Určte súradnice vrcholov hyperboly $H$, danej jej všeobecnou rovnicou: $$4x^2 - 3y^2 + 16x + 18y - 23 = 0.$$
Erik vyriešil príklad v nasledujúcich krokoch:
(1) Upravil všeobecnú rovnicu hyperboly do jej stredového tvaru: $$\begin{alignat}2 4x^2 - 3y^2 + 16x + 18y - 23 &= 0 \cr 4x^2 + 16x - 3y^2 + 18y - 23 &= 0 \cr 4(x^2 + 4x) - 3(y^2 - 6y) - 23 &= 0 \cr 4(x^2 + 4x + 4 - 4) - 3(y^2 - 6y + 9 - 9) - 23 &= 0 \cr 4\left[(x + 2)^2 - 4\right] - 3\left[(y - 3)^2 - 9\right] - 23 &= 0 \cr 4(x + 2)^2 - 16 - 3(y - 3)^2 + 27 - 23 &= 0 \cr 4(x + 2)^2 - 3(y - 3)^2 - 12 &= 0\quad &&\big/ + 12 \cr 4(x + 2)^2 - 3(y - 3)^2 &= 12\quad &&\big/ : 12 \cr \frac{(x + 2)^2}{3} - \frac{(y - 3)^2}{4} &= 1 \end{alignat}$$
(2) Určil súradnice stredu $S$ hyperboly: $S=[-2; 3]$.
(3) Určil veľkostí polosí hyperboly:
- $4 > 3 \Rightarrow$ Dĺžka hlavnej polosi $a$ sú $2$ jednotky $(a^2 = 4)$.
- Dĺžka vedľajšej polosi $b$ je $\sqrt3$ jednotiek $(b^2 = 3)$.
(4) Určil súradnice vrcholov hyperboly. Erík tvrdil, že hlavná os hyperboly je rovnobežná s osou y, preto vrcholy hyperboly majú súradnice: $[-2; 3 – 2]$ a $[-2; 3 + 2]$, t.j., $[-2; 1]$ a $[-2; 5]$.
Erikove riešenie je chybné. Kde Erik urobil vo svojom postupe prvú chybu?
Prvá chyba je v kroku (1). Urobil chybu v úprave danej rovnice hyperboly na jej stredový tvar.
Prvá chyba je v kroku (2). Nesprávne určil súradnice stredu hyperboly.
Prvá chyba je v kroku (3). Nesprávne určil veľkosti hlavnej a vedľajšej polosi.
Prvá chyba je v kroku (4): Nesprávne určil súradnice vrcholov hyperboly.
(1) Danú rovnicu hyperboly $4x^2 – 3y^2 + 16x + 18y – 23 = 0$ upravíme do jej stredového tvaru $H$: $$\frac{(x + 2)^2}{3} –\frac{(y - 3)^2}{4} = 1.$$
(2) Stred $S$ hyperboly má súradnice: $S=[m; n]=[-2; 3]$.
(3) Určíme dĺžky hlavnej a vedľajšej polosi hyperboly $a$ a $b$:
- Vzhľadom na to, že $a^2$ je v rovnici hyperboly v tom zlomku, pred ktorým nie je záporné znamienko $($-$)$, máme $a^2=3$. Dĺžka hlavnej polosi $a$ teda je $\sqrt3$ jednotiek.
- Vzhľadom na to, že $b^2$ je v rovnici hyperboly v tom zlomku, pred ktorým je záporné znamienko $($-$)$, máme $b^2=4$. Dĺžka vedľajšej polosi $b$ teda sú $2$ jednotky.
(4) Hlavná os hyperboly $a$ je rovnobežná s osou x. Preto vrcholy hyperboly sú: $[m-a;n]=\left[-2-\sqrt3;3\right]$ a $[m+a;n]=\left[-2+\sqrt3;3\right]$.