Determina las coordenadas de los vértices de la hipérbola $H$, dada por su ecuación general: $$4x^2 - 3y^2 + 16x + 18y - 23 = 0.$$
Eric resolvió la tarea mediante los siguientes pasos:
(1) Convirtió la ecuación general de la hipérbola en su forma estándar: $$\begin{alignat}2 4x^2 - 3y^2 + 16x + 18y - 23 &= 0 \cr 4x^2 + 16x - 3y^2 + 18y - 23 &= 0 \cr 4(x^2 + 4x) - 3(y^2 - 6y) - 23 &= 0 \cr 4(x^2 + 4x + 4 - 4) - 3(y^2 - 6y + 9 - 9) - 23 &= 0 \cr 4\left[(x + 2)^2 - 4\right] - 3\left[(y - 3)^2 - 9\right] - 23 &= 0 \cr 4(x + 2)^2 - 16 - 3(y - 3)^2 + 27 - 23 &= 0 \cr 4(x + 2)^2 - 3(y - 3)^2 - 12 &= 0\quad &&\big/ + 12 \cr 4(x + 2)^2 - 3(y - 3)^2 &= 12\quad &&\big/ : 12 \cr \frac{(x + 2)^2}{3} - \frac{(y - 3)^2}{4} &= 1 \end{alignat}$$
(2) Determinó las coordenadas del centro, denotado como $S$, de la hipérbola: $S=[-2; 3]$.
(3) Halló las longitudes de los semiejes de la hipérbola:
- $4 > 3 \Rightarrow$ La longitud del semieje mayor, llamado $a$, es $2$ unidades $(a^2 = 4)$.
- La longitud del semieje menor, llamado $b$, es $\sqrt3$ unidades $(b^2 = 3)$.
(4) Por último, determinó las coordenadas de los vértices de la hipérbola. Eric afirmó que el eje mayor de la hipérbola es paralelo al eje Y. Por tanto, los vértices de la hipérbola tienen coordenadas $[-2; 3 – 2]$ y $[-2; 3 + 2]$, i.e., $[-2; 1]$ y $[-2; 5]$.
La resolución de Eric no es correcta. ¿Dónde cometió su primer error?
El primer error está en el paso (1). Eric cometió un error al convertir la ecuación dada de la hipérbola en su forma estándar.
El primer error está en el paso (2). Eric halló de forma incorrecta las coordenadas del centro de la hipérbola.
El primer error está en el paso (3). Eric halló de forma incorrecta las longitudes de los semiejes mayor y menor.
El primer error está en el paso (4). Eric determinó de forma incorrecta las coordenadas de los vértices de la hipérbola.
(1) Dada la hipérbola de ecuación $4x^2 – 3y^2 + 16x + 18y – 23 = 0$, la transformamos en su forma estándar $H$: $$\frac{(x + 2)^2}{3} –\frac{(y - 3)^2}{4} = 1.$$
(2) El centro, $S$, de la hipérbola, es: $S=[m; n]=[-2; 3]$.
(3) Hallamos las longitudes de los semiejes mayor y menos de la hipérbola, denotados como $a$ y $b$:
Dado que $a^2$ en la ecuación de la hipérbola siempre está en la fracción no precedida por el signo negativo $($-$)$, tenemos que $a^2=3$. La longitud del semieje mayor, $a$, es entonces $\sqrt3$ unidades.
Dado que $b^2$ en la ecuación de la hipérbola siempre está en la fracción precedida por el digno negativo $($-$)$, tenemos que $b^2=4$. La longitud del semieje menor, $b$, es entonces $2$ unidades.
(4) El semieje mayor, $a$, de la hipérbola dada es paralelo al eje X. Por lo tanto, los vértices de la hipérbola son: $[m-a;n]=\left[-2-\sqrt3;3\right]$ y $[m+a;n]=\left[-2+\sqrt3;3\right]$.