Určete souřadnice vrcholů hyperboly $H$, která je dána obecnou rovnicí: $$4x^2 - 3y^2 + 16x + 18y - 23 = 0.$$
Erik vyřešil příklad v následujících krocích:
(1) Upravil obecnou rovnici hyperboly do jejího středového tvaru: $$\begin{alignat}2 4x^2 - 3y^2 + 16x + 18y - 23 &= 0 \cr 4x^2 + 16x - 3y^2 + 18y - 23 &= 0 \cr 4(x^2 + 4x) - 3(y^2 - 6y) - 23 &= 0 \cr 4(x^2 + 4x + 4 - 4) - 3(y^2 - 6y + 9 - 9) - 23 &= 0 \cr 4\left[(x + 2)^2 - 4\right] - 3\left[(y - 3)^2 - 9\right] - 23 &= 0 \cr 4(x + 2)^2 - 16 - 3(y - 3)^2 + 27 - 23 &= 0 \cr 4(x + 2)^2 - 3(y - 3)^2 - 12 &= 0\quad &&\big/ + 12 \cr 4(x + 2)^2 - 3(y - 3)^2 &= 12\quad &&\big/ : 12 \cr \frac{(x + 2)^2}{3} - \frac{(y - 3)^2}{4} &= 1 \end{alignat}$$
(2) Určil souřadnice středu $S$ hyperboly: $S=[-2; 3]$.
(3) Určil délku poloos hyperboly:
- $4 > 3 \Rightarrow$ Délka hlavní poloosy $a$ jsou $2$ jednotky $(a^2 = 4)$.
- Délka vedlejší poloosy $b$ je $\sqrt3$ jednotek $(b^2 = 3)$.
(4) Určil souřadnice vrcholů hyperboly. Erik tvrdil, že hlavní osa hyperboly je rovnoběžná s osou y, proto vrcholy hyperboly mají souřadnice: $[-2; 3 – 2]$ a $[-2; 3 + 2]$, t.j., $[-2; 1]$ a $[-2; 5]$.
Erikovo řešení je chybné. Kde udělal Erik ve svém postupu chybu?
První chyba je v kroku (1). Erik udělal chybu v úpravě dané rovnice hyperboly na její středový tvar.
První chyba je v kroku (2). Nesprávně určil souřadnice středu hyperboly.
První chyba je v kroku (3). Nesprávně určil velikosti hlavní a vedlejší poloosy.
První chyba je v kroku (4). Nesprávně určil souřadnice vrcholů hyperboly.
(1) Danou rovnici hyperboly $4x^2 – 3y^2 + 16x + 18y – 23 = 0$ upravíme do jejího středového tvaru $H$: $$\frac{(x + 2)^2}{3} –\frac{(y - 3)^2}{4} = 1.$$
(2) Střed $S$ hyperboly má souřadnice: $S=[m; n]=[-2; 3]$.
(3) Určíme délku hlavní a vedlejší poloosy hyperboly $a$ a $b$:
- Vzhledem k tomu, že $a^2$ je v rovnici hyperboly v tom zlomku, před kterým není záporné znaménko $($-$)$, máme $a^2=3$. Délka hlavní poloosy $a$ je tedy $\sqrt3$ jednotek.
- Vzhledem k tomu, že $b^2$ je v rovnici hyperboly v tom zlomku, před kterým je záporné znaménko $($-$)$, máme $b^2=4$. Délka vedlejší poloosy $b$ jsou tedy $2$ jednotky.
(4) Hlavní osa hyperboly $a$ je rovnoběžná s osou x. Proto jsou vrcholy hyperboly: $[m-a;n]=\left[-2-\sqrt3;3\right]$ a $[m+a;n]=\left[-2+\sqrt3;3\right]$.