Tomáš a Peter riešili nasledujúcu úlohu: V pravouhlom trojuholníku $ABC$, $|BC|=3$ a $|AC|=4$. Na preponu $AB$ je umiestnený bod $D$ a veľkosť uhla $ACD$ je $60^{\circ}$.
Vypočítajte dĺžku úsečky $CD$.
Tomek predložil toto riešenie:
(1) Nakreslil obrázok pravouhlého trojuholníka.
(2) Vyjadril obsah trojuholníka $ABC$ pomocou $x$, kde $x=|CD|$: $$ \begin{gather} P_{ABC}=P_{ACD}+P_{BCD} \cr \frac12 \cdot 3 \cdot 4=\frac12 \cdot 4 \cdot x \cdot \sin\,60^{\circ}+ \frac12 \cdot 3 \cdot x \cdot \sin\,30^{\circ} \end{gather} $$ (3) Odtiaľ vypočítal $x$: $$ \begin{gather} 6=2x \cdot \frac{\sqrt3}{2}+ \frac32 x \frac12 ~~~ /\cdot 4 \cr 24=4\sqrt3 x+3x \cr 24=x(4\sqrt3+3) ~~~/\cdot(4\sqrt3-3) \cr 24(4\sqrt3-3)=39x \cr x=\frac{32\sqrt3-24}{13} \end{gather} $$
Peter ukázal toto riešenie:
(1) Nakreslil obrázok pravouhlého trojuholníka.
(2) Použil Pytagorovu vetu na zistenie dĺžky prepony $AB$: $$ |AB|=\sqrt{3^2+4^2}=5 $$
(3) Potom vyjadril: $$ \sin \alpha =\frac35,~\cos \alpha =\frac45 $$ (4) Nakoniec použil sínusovú vetu na určenie $x$: $$ \begin{gather} \frac{x}{\sin \alpha}=\frac{4}{\sin(120^{\circ}-\alpha)} \cr \frac53 x=\frac{4}{\sin 120^{\circ}\cos \alpha -\cos 120^{\circ}\sin \alpha} \cr \frac53 x=\frac{4}{\frac{\sqrt3}{2} \cdot \frac45+ \frac12 \cdot \frac35} / \cdot 3 \cr 5x=\frac{120}{4\sqrt3+3} \cr x=\frac{24}{4\sqrt3+3} \end{gather} $$Ich spolužiaci komentovali ich riešenie. Ktorý komentár je správny?
Tomáš aj Peter predviedli správne riešenie.
Petrove riešenie je správne. Tomáš urobil chybu v kroku (2). Malo to byť: $$ 6=2x \cdot \frac12+\frac32 x \frac{\sqrt3}{2} $$
Tomášove riešenie je správne. Peter urobil chybu v kroku (4). Malo to byť: $$ \frac53 x=\frac{4}{\frac{\sqrt3}{2} \cdot \frac45-\frac12 \cdot \frac35} $$
Ani jeden z nich neukázal správne riešenie.
$$ \frac{24}{4\sqrt3+3} \cdot \frac{4 \sqrt3-3}{4\sqrt3-3}=\frac{32\sqrt3-24}{13} $$
