Tomek i Piotr rozwiązali następujące zadanie:
W trójkącie prostokątnym $ABC$, $|BC|=3$ i $|AC|=4$. Na przeciwprostokątnej $AB$ znajduje się punkt $D$, a miara kąta $ACD$ wynosi $60^{\circ}$. Oblicz długość odcinka $CD$.
Tomek przedstawił takie rozwiązanie:
(1) Naszkicował obraz trójkąta prostokątnego.
(2) Wyraził pole trójkąta $ABC$ jako funkcję $x$, gdzie $x=|CD|$: $$ \begin{gather} P_{ABC}=P_{ACD}+P_{BCD} \cr \frac12 \cdot 3 \cdot 4=\frac12 \cdot 4 \cdot x \cdot \sin\,60^{\circ}+ \frac12 \cdot 3 \cdot x \cdot \sin\,30^{\circ} \end{gather} $$ (3) Stamtąd obliczył $x$: $$ \begin{gather} 6=2x \cdot \frac{\sqrt3}{2}+ \frac32 x \frac12 ~~~ /\cdot 4 \cr 24=4\sqrt3 x+3x \cr 24=x(4\sqrt3+3) ~~~/\cdot(4\sqrt3-3) \cr 24(4\sqrt3-3)=39x \cr x=\frac{32\sqrt3-24}{13} \end{gather} $$
Piotr zademonstrował takie rozwiązanie:
(1) Narysował rysunek trójkąta prostokątnego.
(2) Użył twierdzenia Pitagorasa do obliczenia długości przeciwprostokątnej $AB$: $$ |AB|=\sqrt{3^2+4^2}=5 $$
(3) Następnie wyraził: $$ \sin \alpha =\frac35,~\cos \alpha =\frac45 $$ (4)Na koniec użył twierdzenia sinusów do obliczenia $x$: $$ \begin{gather} \frac{x}{\sin \alpha}=\frac{4}{\sin(120^{\circ}-\alpha)} \cr \frac53 x=\frac{4}{\sin 120^{\circ}\cos \alpha -\cos 120^{\circ}\sin \alpha} \cr \frac53 x=\frac{4}{\frac{\sqrt3}{2} \cdot \frac45+ \frac12 \cdot \frac35} / \cdot 3 \cr 5x=\frac{120}{4\sqrt3+3} \cr x=\frac{24}{4\sqrt3+3} \end{gather} $$ Koledzy z klasy komentowali ich rozwiązanie. Który komentarz jest poprawny?
Zarówno Tomek, jak i Piotr pokazali prawidłowe rozwiązanie.
Rozwiązanie Piotra jest prawidłowe. Tomek popełnił błąd w kroku (2). Powinno być: $$ 6=2x \cdot \frac12+\frac32 x \frac{\sqrt3}{2} $$
Rozwiązanie Tomka jest prawidłowe. Piotr popełnił błąd w kroku (4). Powinno być: $$ \frac53 x=\frac{4}{\frac{\sqrt3}{2} \cdot \frac45-\frac12 \cdot \frac35} $$
Żaden z nich nie wskazał prawidłowego rozwiązania.
$$ \frac{24}{4\sqrt3+3} \cdot \frac{4 \sqrt3-3}{4\sqrt3-3}=\frac{32\sqrt3-24}{13} $$
