Tomáš a Petr řešili následující úlohu: V pravoúhlém trojúhelníku $ABC$ je dáno: $|BC|=3$ a $|AC|=4$. Na přeponě $AB$ leží bod $D$ tak, že velikost úhlu $ACD$ je $60^{\circ}$. Vypočítejte délku úsečky $CD$.
Tomáš řešil úlohu takto:
(1) Nakreslil si obrázek pravoúhlého trojuhelníku
(2) Vyjádřil obsah trojúhelníku $ABC$ pomocí délky $x$, kde $x=|CD|$: $$ \begin{gather} P_{ABC}=P_{ACD}+P_{BCD} \cr \frac12 \cdot 3 \cdot 4=\frac12 \cdot 4 \cdot x \cdot \sin\,60^{\circ}+ \frac12 \cdot 3 \cdot x \cdot \sin\,30^{\circ} \end{gather} $$ (3) Z toho vypočítal $x$: $$ \begin{gather} 6=2x \cdot \frac{\sqrt3}{2}+ \frac32 x \frac12 ~~~ /\cdot 4 \cr 24=4\sqrt3 x+3x \cr 24=x(4\sqrt3+3) ~~~/\cdot(4\sqrt3-3) \cr 24(4\sqrt3-3)=39x \cr x=\frac{32\sqrt3-24}{13} \end{gather} $$
Petr ukázal následující řešení:
(1) Nakreslil obrázek pravoúhlého trojúhelníku.
(2) Použil Pythagorovu větu k výpočtu délky přepony $AB$: $$ |AB|=\sqrt{3^2+4^2}=5 $$
(3) Poté vyjádřil: $$ \sin \alpha =\frac35,~\cos \alpha =\frac45 $$ (4) Nakonec použil sinovou větu k určení délky $x$: $$ \begin{gather} \frac{x}{\sin \alpha}=\frac{4}{\sin(120^{\circ}-\alpha)} \cr \frac53 x=\frac{4}{\sin 120^{\circ}\cos \alpha -\cos 120^{\circ}\sin \alpha} \cr \frac53 x=\frac{4}{\frac{\sqrt3}{2} \cdot \frac45+ \frac12 \cdot \frac35} / \cdot 3 \cr 5x=\frac{120}{4\sqrt3+3} \cr x=\frac{24}{4\sqrt3+3} \end{gather} $$ Jejich spolužáci komentovali tato řešení. Který z komentářů je správný?
Tomáš i Petr prezentovali správná řešení.
Petrovo řešení je správné. Tomáš udělal chybu v kroku (2). Mělo tam být: $$ 6=2x \cdot \frac12+\frac32 x \frac{\sqrt3}{2} $$
Tomášovo řešení je správné. Petr udělal chybu v kroku (4). Mělo tam být: $$ \frac53 x=\frac{4}{\frac{\sqrt3}{2} \cdot \frac45-\frac12 \cdot \frac35} $$
Ani jeden z nich nepostupoval správně.
$$ \frac{24}{4\sqrt3+3} \cdot \frac{4 \sqrt3-3}{4\sqrt3-3}=\frac{32\sqrt3-24}{13} $$
