Pravouhlý trojuholník $ABC$ je vpísaný do kružnice s polomerom $6$ a veľkosť jeho uhla $BAC$ je $60^{\circ}$. Vypočítajte obsah tohto trojuholníka.
Peter vyriešil tento problém nasledovne:
(1) Najprv nakreslil tento obrázok:
Z obrázka priamo určil, že $$ |AB|=12. $$
(2) Pomocou funkcie sínus zistil dĺžku protiľahlej strany $BC$: $$ \begin{gather} \sin(60^{\circ})= \frac{|AB|}{|BC|} \cr |BC|=\frac{|AB|}{ \sin(60^{\circ}) }\cr |BC|=8\sqrt{3} \end{gather} $$
(3) Pomocou funkcie kosínus zistil dĺžku susednej strany $AC$: $$ \begin{gather} \cos(60^{\circ})= \frac{|AC|}{|AB| } \cr |AC|=|AB| \cos(60^{\circ}) \cr |AC|=6 \end{gather} $$
(4) Nakoniec vypočítal obsah trojuholníka: $$ P=\frac{1}{2}\cdot 6 \cdot 8 \sqrt{3}=24 \sqrt{3} $$ Je Petrov výsledok správny? Ktorá odpoveď je pravdivá?
Petrov výsledok nie je správny. Peter si príklad uľahčil tým, že stranu $AB$ nakreslil tak, aby prechádzala stredom opísanej kružnice, čo nemusí platiť vo všeobecnosti. Chyba je v kroku (1).
Petrov výsledok nie je správny. Urobil chybu v kroku (2). Malo to byť: $$ \sin(60^{\circ})= \frac{|BC|}{|AB|} $$
Petrov výsledok nie je správny. V kroku (3) urobil chybu. Malo to byť: $$ \cos(60^{\circ})=\frac{|AB|}{|AC| } $$
Petrov výsledok nie je správny. V kroku (4) urobil chybu. Mal použiť vzorec: $$ A=\frac12 |AB||AC| \cos(60^{\circ}) $$
$$ \begin{gather} \sin (60^{\circ})= \frac{|BC|}{|AB| } \cr |BC|=6\sqrt{3} \end{gather} $$ Správny výsledok je: $$ A=\frac{1}{2}\cdot 6 \cdot 6 \sqrt{3}=18 \sqrt{3} $$
