Un triángulo rectángulo $ABC$ está inscrito en una circunferencia de radio $6$, y la medida de su ángulo $BAC$ es $60^{\circ}$. Calcula el área de este triángulo.
Pedro solucionó este problema de la siguiente manera:
(1) Primero, hizo este dibujo:
A partir del dibujo, determinó directamente que $$ |AB|=12. $$
(2) Usando la función seno, encontró la longitud del lado opuesto $BC$: $$ \begin{gather} \sin(60^{\circ})= \frac{|AB|}{|BC|} \cr |BC|=\frac{|AB|}{ \sin(60^{\circ}) }\cr |BC|=8\sqrt{3} \end{gather} $$
(3) Usando la función coseno, encontró la longitud del lado adyacente $AC$: $$ \begin{gather} \cos(60^{\circ})= \frac{|AC|}{|AB| } \cr |AC|=|AB| \cos(60^{\circ}) \cr |AC|=6 \end{gather} $$
(4) Por último, calculó el área del triángulo: $$ P=\frac{1}{2}\cdot 6 \cdot 8 \sqrt{3}=24 \sqrt{3} $$ ¿Es correcta la solución de Pedro? ¿Cuál de las opciones es verdadera?
El resultado de Pedro no es correcto. Pedro facilitó el problema dibujando el lado $AB$ de modo que pasa por el centro de la circunferencia circunscrita. El error está en el paso (1).
El error está en el paso (2). Debería haber sido: $$ \sin(60^{\circ})= \frac{|BC|}{|AB|} $$
El resultado de Pedro no es correcto. Cometió un error en el paso (3). Debería haber sido: $$ \cos(60^{\circ})=\frac{|AB|}{|AC| } $$
El resultado de Pedro no es correcto. Cometió un error en el paso (4). Debería haber utilizado la fórmula: $$ A=\frac12 |AB||AC| \cos(60^{\circ}) $$
$$ \begin{gather} \sin (60^{\circ})= \frac{|BC|}{|AB| } \cr |BC|=6\sqrt{3} \end{gather} $$ El resultado correcto es: $$ A=\frac{1}{2}\cdot 6 \cdot 6 \sqrt{3}=18 \sqrt{3} $$
