Pravoúhlý trojúhelník $ABC$ je vepsaný do kružnice o poloměru $6$ a velikost jeho úhlu $BAC$ je $60^{\circ}$. Vypočítejte obsah tohoto trojúhelníku.
Petr řešil problém následovně:
(1) Nejprve si nakreslil obrázek:
Z obrázku přímo určil, že $$ |AB|=12. $$
(2) Užitím funkce sinus získal délku protilehlé strany $BC$: $$ \begin{gather} \sin(60^{\circ})= \frac{|AB|}{|BC|} \cr |BC|=\frac{|AB|}{ \sin(60^{\circ}) }\cr |BC|=8\sqrt{3} \end{gather} $$
(3) Užitím funkce kosinus získal délku přilehlé strany $AC$: $$ \begin{gather} \cos(60^{\circ})= \frac{|AC|}{|AB| } \cr |AC|=|AB| \cos(60^{\circ}) \cr |AC|=6 \end{gather} $$
(4) Nakonec vypočítal obsah trojúhelníku: $$ P=\frac{1}{2}\cdot 6 \cdot 8 \sqrt{3}=24 \sqrt{3} $$ Je Petrův výsledek správný? Která odpověď je pravdivá?
Petrův výsledek není správný. Petr si příklad ulehčil tím, že stranu $AB$ načrtnul tak, aby procházela středem kružnice opsané, což obecně platit nemusí. Chyba je v kroku (1).
Petrův výsledek není správný. Udělal chybu v kroku (2). Mělo to být: $$ \sin(60^{\circ})= \frac{|BC|}{|AB|} $$
Petrův výsledek není správný. Udělal chybu v kroku (3). Měl vypadat takto: $$ \cos(60^{\circ})=\frac{|AB|}{|AC| } $$
Petrův výsledek není správný. Udělal chybu v kroku (4). Měl použít vzorec: $$ S=\frac12 |AB||AC| \cos(60^{\circ}) $$
$$ \begin{gather} \sin (60^{\circ})= \frac{|BC|}{|AB| } \cr |BC|=6\sqrt{3} \end{gather} $$ Správný výsledek je: $$ S=\frac{1}{2}\cdot 6 \cdot 6 \sqrt{3}=18 \sqrt{3} $$
