Strany trojuholníka $ABC$ sú: $|AB|=5$, $|BC|=5\sqrt{7}$ a $|AC|=15$. Veľkosť uhla $BAC$ je $60^{\circ}$. Dve dievčatá Judita a Margaréta, vypočítali veľkosť $\angle ABC$, ale dostali rozdielne výsledky.
Judita použila kosínusovú vetu:
$$ \begin{gather} |AC|^2=|AB|^2+|BC|^2−2|AB||BC|\cos (\measuredangle ABC) \cr 15^2=5^2+(5\sqrt{7})^2−2\cdot 5\cdot 5\sqrt{7}\cdot \cos (\measuredangle ABC) \cr 225=25+175−50\sqrt{7}\cdot\cos (\measuredangle ABC) \cr \cos (\measuredangle ABC)=−\frac{25}{50\sqrt{7}} \cr \measuredangle ABC\approx 101^{\circ} \end{gather} $$
Margaréta použila sínusovú vetu:
$$ \begin{gather} \frac{|BC|}{\sin(\measuredangle BAC)}=\frac{|AC|}{\sin(\measuredangle ABC) }\cr \frac{5\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{15}{\sin(\measuredangle ABC)}\cr \sin(\measuredangle ABC)=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} \cr \measuredangle ABC\approx 79^{\circ} \end{gather} $$ Ktorá z uvedených poznámok je správna?
Juditino riešenie $\measuredangle ABC\approx 101^{\circ}$ je správne. Ak sú dané dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, je vhodné použiť kosínusovú vetu.
Oba riešenia sú správne. Môžu existovať dve rôzne veľkosti pre $\measuredangle ABC$: $\measuredangle ABC\approx 101^{\circ}$ alebo $\measuredangle ABC\approx 79^{\circ}$.
Margaréta uviedla správne riešenie, $\measuredangle ABC\approx 79^{\circ}$. Tupý uhol $101^{\circ}$ nemôže byť správnym riešením. Keďže sínus tupého uhla je záporné číslo, následne aj obsah trojuholníka by bolo záporné číslo. Pozrite si vzorec pre obsah trojuholníka $\Delta ABC$: $$ A=|AB||BC|\sin(\measuredangle ABC) $$
Príklad sa dá vyriešiť pomocou sínusovej aj kosínusovej vety. Bohužiaľ, obe dievčatá urobili chybu a ich výsledky sú nesprávne.
Ak použijeme sínusovú vetu, dostaneme dva výsledky pre $\measuredangle ABC$: $\sin(\measuredangle ABC)=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$, teda $\measuredangle ABC\approx 79^{\circ}$ alebo $\measuredangle ABC=180^{\circ}-79^{\circ}\approx 101^{\circ}$ ($\sin \alpha=\sin(180^{\circ}-\alpha$). Výpočet veľkosti $\measuredangle ACB$ odstráni jeden z týchto výsledkov: $$ \begin{gather} \frac{|BC|}{\sin(\measuredangle BAC)}=\frac{|AB|}{\sin(\measuredangle ACB )}\cr \sin(\measuredangle ACB )=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} \cr \measuredangle ACB\approx 19^{\circ} \lor \measuredangle ACB\approx 161^{\circ} \end{gather} $$ Pokiaľ $\measuredangle BAC=60^{\circ}$ a $\measuredangle ACB+\measuredangle ABC+\measuredangle BAC=180^{\circ}$, veľkosť uhla $\measuredangle ABC$ musí byť približne $101^{\circ}$.