Los lados de un triángulo $ABC$ son: $|AB|=5$, $|BC|=5\sqrt{7}$, y $|AC|=15$. La medida de $\measuredangle BAC$ es $60^{\circ}$. Dos chicas, Judith y Margaret, calcularon la medida de $\measuredangle ABC$ pero obtuvieron resultados diferentes.
Judith utilizó la regla del coseno: $$ \begin{gather} |AC|^2=|AB|^2+|BC|^2−2|AB||BC|\cos (\measuredangle ABC) \cr 15^2=5^2+(5\sqrt{7})^2−2\cdot 5\cdot 5\sqrt{7}\cdot \cos (\measuredangle ABC) \cr 225=25+175−50\sqrt{7}\cdot\cos (\measuredangle ABC) \cr \cos (\measuredangle ABC)=−\frac{25}{50\sqrt{7}} \cr \measuredangle ABC\approx 101^{\circ} \end{gather} $$
Margaret utilizó la regla del seno: $$ \begin{gather} \frac{|BC|}{\sin(\measuredangle BAC)}=\frac{|AC|}{\sin(\measuredangle ABC) }\cr \frac{5\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{15}{\sin(\measuredangle ABC)}\cr \sin(\measuredangle ABC)=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} \cr \measuredangle ABC\approx 79^{\circ} \end{gather} $$ ¿Cuál de las dos procedió correctamente?
La solución de Judith es correcta, $\measuredangle ABC\approx 101^{\circ}$. Si se conocen las longitudes de los tres lados de un triángulo, se puede utilizar la regla del coseno para resolver el triángulo.
Ambas soluciones son correctas. Puede haber dos medidas posibles para $\measuredangle ABC$: $\measuredangle ABC\approx 101^{\circ}$ o $\measuredangle ABC\approx 79^{\circ}$.
Margaret mostró la solución correcta, $\measuredangle ABC\approx 79^{\circ}$. Un ángulo obtuso de $ 101^ {\circ} $ no puede ser la solución correcta. Dado que el seno de un ángulo obtuso es negativo, el área del triángulo sería negativo, que no es posible. Véase la fórmula para el área de $\Delta ABC$: $$ A=|AB||BC|\sin(\measuredangle ABC) $$
El ejercicio se puede solucionar utilizando tanto la regla del seno, como la del coseno. Desgraciadamente, las dos chicas se equivocaron y sus resultados son erróneos.
Si utilizamos la regla del seno, obtenemos dos medidas para $\measuredangle ABC$: $\sin(\measuredangle ABC)=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$, por lo tanto $\measuredangle ABC\approx 79^{\circ}$ o $\measuredangle ABC=180^{\circ}-79^{\circ}\approx 101^{\circ}$ ($\sin \alpha=\sin(180^{\circ}-\alpha$)). El cálculo de la medida de $\measuredangle ACB$ eliminará uno de estos resultados: $$ \begin{gather} \frac{|BC|}{\sin(\measuredangle BAC)}=\frac{|AB|}{\sin(\measuredangle ACB )}\cr \sin(\measuredangle ACB )=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} \cr \measuredangle ACB\approx 19^{\circ} \lor \measuredangle ACB\approx 161^{\circ} \end{gather} $$ Dado que $\measuredangle BAC=60^{\circ}$ y $\measuredangle ACB+\measuredangle ABC+\measuredangle BAC=180^{\circ}$, la medida de $\measuredangle ABC$ debe ser aproximadamente $101^{\circ}$.