Délky stran trojúhelníku $ABC$ jsou: $|AB|=5$, $|BC|=5\sqrt{7}$ a $|AC|=15$. Velikost $\measuredangle BAC$ je $60^{\circ}$. Dvě dívky, Judith a Margaret, počítaly velikost $\measuredangle ABC$, ale obdržely rozdílné výsledky.
Judith použila kosinovou větu: $$ \begin{gather} |AC|^2=|AB|^2+|BC|^2−2|AB||BC|\cos (\measuredangle ABC) \cr 15^2=5^2+(5\sqrt{7})^2−2\cdot 5\cdot 5\sqrt{7}\cdot \cos (\measuredangle ABC) \cr 225=25+175−50\sqrt{7}\cdot\cos (\measuredangle ABC) \cr \cos (\measuredangle ABC)=−\frac{25}{50\sqrt{7}} \cr |\measuredangle ABC|\approx 101^{\circ} \end{gather} $$
Margaret použila sinovou větu: $$ \begin{gather} \frac{|BC|}{\sin(\measuredangle BAC)}=\frac{|AC|}{\sin(\measuredangle ABC) }\cr \frac{5\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{15}{\sin(\measuredangle ABC)}\cr \sin(\measuredangle ABC)=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} \cr |\measuredangle ABC|\approx 79^{\circ} \end{gather} $$ Zde je několik komentářů. Který je správný?
Judith použila správné řešení, $|\measuredangle ABC|\approx 101^{\circ}$. Jsou-li zadány délky tří stran trojúhelníku, lze k nalezení úhlu použít kosinovou větu.
Oba výsledky jsou správné. Pro $|\measuredangle ABC|$ mohou existovat dvě možná řešení: $|\measuredangle ABC|\approx 101^{\circ}$ nebo $|\measuredangle ABC|\approx 79^{\circ}$.
Margaret vyřešila úlohu správně, tedy $|\measuredangle ABC|\approx79^{\circ}$. Tupý úhel $101^{\circ}$ nemůže být tím správným řešením. Protože sinus tupého úhlu je záporný, plocha trojúhelníku by byla záporná, což není možné. Viz vzorec pro výpočet obsahu $\Delta ABC$: $$ S=|AB||BC|\sin(\measuredangle ABC) $$
Příklad lze vyřešit pomocí obou vět. Obě dívky bohužel udělaly ve výpočtech chybu a jejich výsledky jsou špatně.
Použijeme-li, pro výpočet $|\measuredangle ABC|$ sinovou větu, obdržíme: $\sin(\measuredangle ABC)=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$, odtud $|\measuredangle ABC|\approx 79^{\circ}$ nebo $|\measuredangle ABC|=180^{\circ}−79^{\circ}\approx 101^{\circ}$ ($\sin \alpha=\sin(180^{\circ}−\alpha$)). Výpočtem velikosti $\measuredangle ACB$ eliminujeme jeden z výsledků: $$ \begin{gather} \frac{|BC|}{\sin(\measuredangle BAC)}=\frac{|AB|}{\sin(\measuredangle ACB )}\cr \sin(\measuredangle ACB )=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} \cr \measuredangle ACB\approx 19^{\circ} \lor \measuredangle ACB\approx 161^{\circ} \end{gather} $$ Jelikož platí $|\measuredangle BAC|=60^{\circ}$ and $|\measuredangle ACB|+|\measuredangle ABC|+|\measuredangle BAC|=180^{\circ}$, velikost $\measuredangle ABC$ musí být rovna přibližně hodnotě $101^{\circ}$.