Monika si z nástenky zobrala číslo $123{,}412$ zložené z magnetických číslic. Z týchto číslic chce zostaviť štvorciferné číslo. Koľko rôznych štvorciferných čísel môže pomocou magnetiek vytvoriť?
Monika si všimla, že niektoré číslice sa opakujú. To sa jej nepáči, robí to úlohu ťažšou! Ale začala počítať!
(1) Najprv spočítala počet štvorciferných čísel, v ktorých sa neopakujú žiadne číslice. Takých čísel je $4! = 24$.
(2) Potom spočítala počet čísel, v ktorých sú práve dve jednotky:
- Do štvorciferného čísla môžeme umiestniť práve dve jednotky šiestimi spôsobmi ($11xy$, $1x1y$, ...).
- Každý spôsob umiestnenia jednotiek môžeme doplniť o zvyšné rôzne číslice $V(2,3) = 3! = 6$ spôsobmi.
- Štvorciferných čísel, ktoré budú obsahovať práve $2$ jednotky je $6 \cdot 6 = 36$.
(3) Dospela k záveru, že počet čísel, ktoré obsahujú práve dve dvojky, bude rovnaký ako počet čísel, ktoré obsahujú práve dve jednotky, t. j. $36$.
(4) Ako poslednú možnosť uvažovala Monika čísla, ktoré obsahujú jednotku a dvojku dvakrát. Podľa Moniky existuje $\frac{4!}{2!}=12$ takýchto čísel.
(5) Nakoniec Monika uviedla, že pomocou magnetických číslic dokáže vytvoriť 4-ciferné čísla iba spôsobmi opísanými v krokoch (1) až (4), a teda z magnetických číslic možno vytvoriť $24 + 36 + 36 + 12 = 108$ rôznych čísel.
Urobila Monika vo svojom výpočte chybu? Ak áno, uveďte, kde.
Napriek obavám sa Monike podarilo úlohu vyriešiť bezchybne!
Monika urobila prvú chybu v kroku (1). Počet štvorciferných čísel bez opakujúcich sa číslic je $2 \cdot 4! = 48$. Z magnetických číslic možno vytvoriť $48 + 36 + 36 + 12 = 132$ rôznych čísel.
Monika urobila prvú chybu v kroku (2). Dve jednotky v štvorcifernom čísle môžeme umiestniť šiestimi rôznymi spôsobmi, ale zvyšné číslice môžeme doplniť $V(2,4) = 12$ spôsobmi. 4-ciferných čísel, ktoré budú obsahovať presne $2$ jednotky je $6 \cdot 12 = 72$. Z magnetických číslic môžeme vytvoriť $24 + 72 + 72 + 12 = 180$ rôznych čísel.
Monika urobila prvú chybu v kroku (4). Počet čísel s dvomi jednotkami a dvomi dvojkami je polovičný, t. j. $\frac{4!}{2! \cdot 2!} = 6$. Z magnetických číslic možno vytvoriť $24 + 36 + 36 + 6 = 102$ rôznych čísel.