Monika z nástěnky sundala číslo $123{,}412$ sestavené z magnetických číslic. Chce použít tyto číslice k sestavení 4ciferného čísla. Kolik různých 4ciferných čísel může z daných magnetek sestavit?
Monika si všimla, že se některé číslice opakují. To nemá ráda, takhle je ta úloha těžší! Dala se ale do počítání!
(1) Nejprve spočítala počet 4ciferných čísel, ve kterých se žádné číslice neopakují. Takových čísel je $4! = 24$.
(2) Dále spočítala počet čísel se dvěma jedničkami:
- Dvě jedničky můžeme umístit ve 4ciferném čísle šesti způsoby ($11xy$, $1x1y$, ...).
- Každý způsob umístění jedniček můžeme doplnit zbývajícími různými číslicemi $V(2,3) = 3! = 6$ způsoby.
- 4ciferných čísel, která budou obsahovat právě $2$ jedničky, je $6 \cdot 6 = 36$.
(3) Usoudila, že počet čísel, která obsahují právě dvě dvojky, bude stejný jako počet čísel obsahujících právě dvě jedničky, tj. $36$.
(4) Jako poslední možnost Monika uvažovala čísla, která obsahují jedničku a dvojku dvakrát. Takových čísel je podle Moniky $\frac{4!}{2!}=12$.
(5) Na závěr Monika prohlásila, že pomocí magnetických číslic může vytvořit 4ciferná čísla pouze způsoby popsanými v krocích (1) až (4) a z magnetických číslic lze tedy sestavit $24 + 36 + 36 + 12 = 108$ různých čísel.
Udělala Monika ve výpočtu chybu? Pokud ano, určete kde.
Monika úlohu přes své obavy zvládla vyřešit bezchybně!
Monika udělala první chybu v kroku (1). Počet 4ciferných čísel, ve kterých se neopakují žádné číslice je $2 \cdot 4! = 48$. Z magnetických číslic lze sestavit $48 + 36 + 36 + 12 = 132$ různých čísel.
Monika udělala první chybu v kroku (2). Dvě jedničky můžeme rozmístit ve 4ciferném čísle šesti různými způsoby, doplnit zbývajícími číslicemi je však můžeme $V(2,4) = 12$ způsoby. 4ciferných čísel, která budou obsahovat právě $2$ jedničky, je tedy $6 \cdot 12 = 72$. Z magnetických číslic lze sestavit $24 + 72 + 72 + 12 = 180$ různých čísel.
Monika udělala první chybu v kroku (4). Počet čísel, ve kterých jsou dvě jedničky a zároveň dvě dvojky, je poloviční, tj. $\frac{4!}{2! \cdot 2!} = 6$. Z magnetických číslic lze sestavit $24 + 36 + 36 + 6 = 102$ různých čísel.