Existuje tupouhlý trojuholník $ABC$ kde $b=3\, \mathrm{cm}$, $a=4\, \mathrm{cm}$ a $\alpha=55^\circ$? (Predpokladáme, že uhly $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ ležia oproti stranám $a$, $b$, $c$). Ak áno, nájdite jeho vnútorný uhol $\beta$.
Martinine riešenie:
(1) Podľa sínusovej vety: $$\frac{b}{\sin\beta}=\frac{a}{\sin\alpha}$$
(2) Po úprave dostaneme: $$\sin\beta=\frac{b}{a}\cdot\sin\alpha$$
(3) Dosadením (pomocou kalkulačky) dostaneme: $$\sin\beta\cong 0{,}61436$$
(4) Keďže $\sin\beta>0$, riešením rovnice je ostrý uhol $\beta\cong37{,}9^\circ$ a tupý uhol $\beta\cong142{,}1^\circ$.
(5) Uhol $\beta=37{,}9^\circ$ nespĺňa podmienky úlohy. Trojuholník $ABC$ by nebol tupouhlý.
(6) Existuje len jeden tupouhlý trojuholník $ABC$ s danými vlastnosťami. Jeho vnútorný uhol $\beta$ je približne $142{,}1^\circ$.
Martina urobila v jednej zo svojich úvah chybu. Nájdite chybu, ktorú Martina urobila.
Chyba je v kroku (6). Ani uhol $\beta\cong142{,}1^\circ$ nevyhovuje zadaniu. Trojuholník s danými vlastnosťami neexistuje.
Chyba je v kroku (1). Sínusová veta nie je zapísaná správne.
Chyba je v kroku (2). Vyjadrenie $\sin\beta$ zo sínusovej vety nie je správne.
Chyba je v kroku (3). Po substitúcii dostaneme $\sin\beta=-0{,}7498$. To znamená, že trojuholník s danými vlastnosťami neexistuje.
Chyba je v kroku (5). Hoci uhol $\beta$ je ostrý, tupý uhol v trojuholníku bude uhol $\gamma$.
Súčet vnútorných uhlov trojuholníka je vždy rovný $180^\circ$, t. j. $$\alpha+\beta+\gamma = 180^\circ$$
Súčet akýchkoľvek dvoch uhlov nemôže byť väčší alebo rovný $180^\circ$, pretože v tom prípade by tretí uhol musel byť nulový alebo záporný, čo v trojuholníku nie je možné.
V našom prípade sme zistili, že
$$\alpha+\beta > 180^\circ,$$
a preto takýto trojuholník neexistuje.