Existuje tupoúhlý trojúhelník $ABC$, v němž $b=3\, \mathrm{cm}$, $a=4\, \mathrm{cm}$ a $\alpha=55^\circ$? (Předpokládáme značení, kdy úhly $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ leží po řadě proti stranám $a$, $b$, $c$.) Pokud ano, určete úhel $\beta$.
Martinino řešení:
(1) Podle sinové věty platí: $$\frac{b}{\sin\beta}=\frac{a}{\sin\alpha}$$
(2) Po úpravě dostáváme: $$\sin\beta=\frac{b}{a}\cdot\sin\alpha$$
(3) Po dosazení (s využitím kalkulátoru) dostáváme: $$\sin\beta\cong 0{,}61436$$
(4) Víme, že $\sin\beta>0$. Řešením rovnice je ostrý úhel $\beta\cong37{,}9^\circ$ a tupý úhel $\beta\cong142{,}1^\circ$.
(5) Úhel $\beta=37{,}9^\circ$ nevyhovuje zadání úlohy. Příslušný trojúhelník $ABC$ by nebyl tupoúhlý.
(6) Existuje jediný tupoúhlý trojúhelník $ABC$ s danými vlastnostmi. Jeho vnitřní úhel $\beta$ má velikost cca. $142{,}1^\circ$.
Martina se v jedné úvaze dopustila chyby. Najděte chybu, které se Martina dopustila.
Chyba je v kroku (6). Ani úhel $\beta\cong142{,}1^\circ$ nevyhovuje zadání. Trojúhelník s danými vlastnostmi neexistuje.
Chyba je v kroku (1). Sinová věta není správně sestavena.
Chyba je v kroku (2). Vyjádření $\sin\beta$ ze sinové věty není korektní.
Chyba je v kroku (3). Po dosazení s pomocí kalkulátoru dostaneme $\sin\beta=-0{,}7498$. Znamená to, že trojúhelník s danými vlastnostmi neexistuje.
Chyba je v kroku (5). Úhel $\beta$ je sice ostrý, ale tupý úhel v trojúhelníku bude úhel $\gamma$.
Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je vždy roven $180^\circ$, tj. $$\alpha+\beta+\gamma = 180^\circ$$
Součet žádných dvou úhlů nemůže být větší nebo roven $180^\circ$, protože pak by třetí úhel musel být nulový nebo záporný, což v trojúhelníku není možné.
V našem případě vyšlo, že
$$\alpha+\beta > 180^\circ$$
a tedy takový trojúhelník neexistuje.