Czy istnieje trójkąt rozwartokątny $ABC$ z $b=3\, \mathrm{cm}$, $a=4\, \mathrm{cm}$, oraz $\alpha=55^\circ$ ? (Zakładamy, że kąty $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ leżą naprzeciwko boków $a$, $b$, $c$,odpowiednio). Jeśli tak, to znajdź jego kąt wewnętrzny $\beta$.
Rozwiązanie Martiny: (1) Zgodnie z prawem sinusów: $$\frac{b}{\sin\beta}=\frac{a}{\sin\alpha}$$
(2) Po przekształceniu otrzymujemy: $$\sin\beta=\frac{b}{a}\cdot\sin\alpha$$
(3) Podstawiając znane wartości (przy użyciu kalkulatora) otrzymujemy: $$\sin\beta\cong 0{,}61436$$
(4) Ponieważ $\sin\beta>0$, rozwiązaniem równania jest kąt ostry $\beta\cong37{,}9^\circ$ oraz kąt rozwarty $\beta\cong142{,}1^\circ$.
(5) Kąt $\beta=37{,}9^\circ$ nie spełnia warunków dotyczących problemu. Ttrójkąt $ABC$ nie będzie rozwarty.
(6) Istnieje tylko jeden trójkąt rozwartokątny $ABC$ o podanych własnościach. Jego kąt wewnętrzny $\beta$ wynosi ok. $142{,}1^\circ$.
**Martyna popełniła błąd w jednym ze swoich rozumowań. Znajdź błąd, który popełniła Martyna.
Błąd tkwi w kroku (6). Nawet kąt $\beta\cong142{,}1^\circ$ nie pasuje do specyfikacji. Trójkąt o podanych właściwościach nie istnieje.
Błąd występuje w kroku (1). Prawo sinusów nie jest zapisane poprawnie.
Błąd tkwi w kroku (2). Wyrażenie $\sin\beta$ z prawa sinusów jest nieprawidłowe.
Błąd tkwi w kroku (3). Otrzymujemy $\sin\beta=-0{,}7498$ po zastąpieniu. Oznacza to, że trójkąt o podanych właściwościach nie istnieje.
Błąd znajduje się w kroku (5). Mimo, że kąt $\beta$jest ostry, kątem rozwartym w trójkącie będzie kąt $\gamma$.
Suma kątów wewnętrznych trójkąta jest zawsze równa $180^\circ$, tj. $$\alpha+\beta+\gamma = 180^\circ$$
Suma żadnego dwóch kątów nie może być większa lub równa $180^\circ$, ponieważ wtedy trzeci kąt musiałby być zerowy lub ujemny, co w trójkącie nie jest możliwe.
W naszym przypadku okazało się, że
$$\alpha+\beta > 180^\circ,$$
a zatem taki trójkąt nie istnieje.