Učiteľ požiadal svojich študentov, aby si dôkladne preštudovali nasledujúci postup pri riešení exponenciálnej rovnice: $$3^{x+1}-3^x=3^x+9$$
1) Upravenie pravej strany rovnice: $$3^{x+1}-3^x=3^x+3^2$$
2) Teraz sú na oboch stranách rovnice mocniny so základom $3$. Keď odstránime základy, dostaneme nasledujúci vzťah: $$x+1-x=x+2$$
3) Rovnica $x+1-x=x+2$ platí vtedy a len vtedy, keď: $$x=-1$$
4) V tomto prípade nie je potrebné robiť skúšku.
Je v krokoch nejaká chyba? Ak áno, identifikujte v ktorom.
Áno, v kroku (1) je chyba. Malo to byť $3^{x+1}-3^x=3^{x+2}$.
Áno, v kroku (2) je chyba. V tomto prípade nie je možné základy odstrániť.
Áno, v kroku (3) je chyba. Malo to byť $x=\frac12$.
Áno, v kroku (4) je chyba. Vykonanie skúšky je neoddeliteľnou súčasťou postupu riešenia.
Nie. Celý postup je správny.
Správne riešenie exponenciálnej rovnice: $$ 3^{x+1}-3^x=3^x+9 $$
1) Upravíme výraz $3^{x+1}$ na ľavej strane rovnice použitím pravidiel pre prácu s mocninami: $$ 3^x 3^1-3^x=3^x+9 $$
2) Odčítame výraz $3^x$ z oboch strán rovnice: $$ 3^x 3^1-3^x-3^x=9 $$
3) Vyberieme spoločný výraz na ľavej strane a vyriešime rovnicu: $$ \begin{aligned} 3^x (3^1-1-1) & = 9 \cr 3^x & =9 \cr 3^x & =3^2 \cr x & =2 \end{aligned} $$