Učitel požádal žáky, aby si pečlivě prostudovali jednotlivé kroky řešení exponenciální rovnice: $$3^{x+1}-3^x=3^x+9$$
1) Upravíme pravou stranu rovnice: $$3^{x+1}-3^x=3^x+3^2$$
2) Na obou stranách rovnice jsou všechny mocniny se základem $3$. Jestliže tyto základy odstraníme, dostaneme následující vztah pro exponenty: $$x+1-x=x+2$$
3) Rovnost $x+1-x=x+2$ platí, právě když: $$x=-1$$
4) V tomto případě není nutné provádět zkoušku.
Je v některém kroku chyba? Pokud ano, určete ve kterém.
Ano. Chyba je v kroku (1). Po úpravě mělo vyjít $3^{x+1}-3^x=3^{x+2}$.
Ano. Chyba je v kroku (2). Základy v tomto případě nelze odstranit.
Ano. Chyba je v kroku (3). Mělo vyjít $x=\frac12$.
Ano. Chyba je v kroku (4). Zkouška je nedílnou součástí řešení.
NE. Celý postup je správně.
Správné řešení exponenciální rovnice: $$ 3^{x+1}-3^x=3^x+9 $$
1) Výraz $3^{x+1}$ na levé straně rovnice upravíme podle pravidel pro počítání s mocninami: $$ 3^x 3^1-3^x=3^x+9 $$
2) Od obou stran vzniklé rovnice odečteme $3^x$: $$ 3^x 3^1-3^x-3^x=9 $$
3) Na levé straně rovnice vytkneme $3^x$ a rovnici dořešíme: $$ \begin{aligned} 3^x (3^1-1-1) & = 9 \cr 3^x & =9 \cr 3^x & =3^2 \cr x & =2 \end{aligned} $$