Učiteľ vybral troch študentov, Petra, Juraja a Jána, aby vyriešili rovnicu: $$ 2^{x-1}=2-\log_22 $$ Najprv všetci traja študenti upravili rovnicu rovnako do tvaru: $$ 2^{x-1}=1 $$ Potom už postupovali rôzne:
Peter: Tvrdil, že rovnica nemá riešenie. Odôvodnil to tým, že hodnota mocniny $2$ sa nikdy nemôže rovnať $1$.
Juraj: Rovnicu zlogaritmoval: $$ \begin{aligned} 2^{x-1} & =1 \cr \log 2^{x-1} & =\log 1 \end{aligned} $$ Potom použil pravidlo: $$ \log_a x^n =n \cdot \log_a x $$ a získal rovnicu: $$ (x-1) \log 2=\log 1 $$ Túto rovnicu vyriešil takto: $$ \begin{aligned} (x-1) \log2 & =\log 1 \cr x-1 & =\log \frac12 \cr x-1 & =\log 2^{-1} \cr x-1 & =-\log 2 \cr x & =1-\log 2 \end{aligned} $$
Ján: Uvedomil si, že číslo $1$ možno vyjadriť ako $2^0$, a preto rovnicu prepísal takto: $$ \begin{aligned} 2^{x-1} & =1 \cr 2^{x-1} & =2^0 \end{aligned} $$ Potom porovnal exponenty s rovnakým základom a získal riešenie: $$ \begin{aligned} x-1 & =0 \cr x & =1 \end{aligned} $$ Koho postup bol správny?
Jánov
Petrov
Jurajov
Nikoho. V každom postupe je chyba.
Jánov postup je správny.
Peter urobil chybu, keď tvrdil, že hodnota mocniny $2$ sa nikdy nemôže rovnať $1$. Neuvedomil si, že $2^0=1$.
Juraj urobil chybu pri úprave rovnice: $$ (x-1) \log 2=\log 1$$ Konkrétne urobil chybu, keď sa snažil previesť výraz $\log 2$ z ľavej strany rovnice na pravú. Nie je pravda, že: $$\frac{\log 1 }{\log 2} =\log \frac12$$ Keby si uvedomil, že $\log 1=0$, dostal by rovnicu: $$x-1=0$$ a teda správne riešenie.