Učitel si vybral tři žáky, Petra, Jirku a Jana, aby vyřešili exponenciální rovnici: $$ 2^{x-1}=2-\log_22 $$ Nejdříve si všichni tři studenti upravili rovnici do tvaru: $$ 2^{x-1}=1 $$ V dalším postupu se už lišili:
Petr: Tvrdil, že rovnice nemá řešení. Vysvětlil to tak, že hodnota mocniny $2$ nemůže být nikdy rovna číslu $1$.
Jirka: Rovnici zlogaritmoval: $$ \begin{aligned} 2^{x-1} & =1 \cr \log 2^{x-1} & =\log 1 \end{aligned} $$ Poté využil pravidlo: $$ \log_a x^n =n \cdot \log_a x $$ a získal následující rovnici: $$ (x-1) \log 2=\log 1 $$ Rovnici vyřešil následovně: $$ \begin{aligned} (x-1) \log2 & =\log 1 \cr x-1 & =\log \frac12 \cr x-1 & =\log 2^{-1} \cr x-1 & =-\log 2 \cr x & =1-\log 2 \end{aligned} $$
Jan: Uvědomil si, že číslo $1$ lze zapsat jako $2^0$ a přepsal rovnici následovně: $$ \begin{aligned} 2^{x-1} & =1 \cr 2^{x-1} & =2^0 \end{aligned} $$ Poté porovnal exponenty se stejným základem. Získal následující rovnici: $$ \begin{aligned} x-1 & =0 \cr x & =1 \end{aligned} $$ Čí postup byl správný?
Jana
Petra
Jirky
Nikoho. Všichni mají ve svém řešení chybu.
Janův postup je správný.
Petr se dopustil chyby, když tvrdil, že hodnota mocniny $2$ nemůže být rovna číslu $1$. Neuvědomil si, že platí $2^0=1$.
Jirka se dopustil chyby v úpravě zlogaritmované rovnice: $$ (x-1) \log 2=\log 1 $$ Konkrétně chyboval, když se snažil převést výraz $\log 2$ z levé strany rovnice na pravou. Není pravda, že: $$\frac{\log 1 }{\log 2} =\log \frac12$$ Kdyby si uvědomil, že $\log 1=0$, obdržel by rovnici: $$x-1=0$$ ze které by ihned dostal správný výsledek.