Študent Peter vyriešil exponenciálnu rovnicu $$ 10^x+100=10 $$ nasledovným spôsobom:
(1) Prepísal čísla $100$ a $10$ ako mocniny $10$: $$ 10^x+10^2=10^1 $$ (2) Zjednodušil ľavú stranu rovnice: $$ 10^{x+2}=10^1 $$
(3) Odstránil rovnaký základ a porovnal exponenty: $$ x+2=1 $$
(4) Vyriešil rovnicu: $$ x=-1 $$ (5) Urobil skúšku svojho riešenia a zistil, že: $$ \begin{aligned} L & = 10^{-1}+100=100{,}1 \cr P & = 10 \cr L & \neq P \end{aligned} $$ Potom konštatoval, že rovnica nemá žiadne riešenie.
Urobil Peter chybu? Ak áno, uveďte, v ktorom kroku sa stala chyba.
Áno. Chyba je v kroku (1). Ľavá strana rovnice je v tvare súčtu, takže číslo $100$ nemožno prepísať ako $10^2$.
Áno. Chyba je v kroku (2). Rovnosť $10^x+10^2=10^{x+2}$ všeobecne neplatí.
Áno. Chyba je v kroku (3). Uvedené zjednodušenie je možné vykonať len vtedy, keď je základ menší ako $1$.
Áno. Chyba je v kroku (4). Riešenie malo byť $x=-\frac12$.
Áno. Chyba je v kroku (5). Pri skúške malo byť: $$ L =10^{-1}+10^2=10^1= 10 $$
Nie. Celý postup je správny.
Na riešenie tejto rovnice je nevyhnutné poznať pravidlá pre počítanie s mocninami. Keď sčítame mocniny s rovnakým základom, nie je možné sčítať ich exponenty. Takúto operáciu môžeme použiť len pri násobení mocnín s rovnakým základom. Správne riešenie je nasledovné: $$ \begin{gather} 10^x+100=10 \cr 10^x=-90 \end{gather} $$ Exponenciálny výraz $10^x$ nie je záporný pre žiadne reálne číslo $x$, a preto rovnica nemá riešenie. V tomto prípade nie je potrebné vykonať skúšku.