Žák Petr řešil exponenciální rovnici $$ 10^x+100=10 $$ následujícím způsobem:
(1) Čísla $100$ a $10$ si přepsal na mocniny o základu $10$: $$ 10^x+10^2=10^1 $$
(2) Provedl úpravu levé strany rovnice: $$ 10^{x+2}=10^1 $$
(3) Z rovnosti základů v eponenciální rovnici usoudil: $$ x+2=1 $$
(4) Vzniklou rovnici vyřešil: $$ x=-1 $$
(5) Provedl zkoušku a zjistil, že: $$ \begin{aligned} L & = 10^{-1}+100=100{,}1 \cr P & = 10 \cr L & \neq P \end{aligned} $$ Poté prohlásil, že $x = -1$ není řešením zadané rovnice. Udělal student Petr někde chybu? Pokud ano, určete ve kterém kroku jeho řešení chyba je.
Ano. Chyba je v kroku (1). Levá strana rovnice má tvar součtu a v takovém případě není možné číslo $100$ psát ve tvaru $10^2$.
Ano, Chyba je v kroku (2). Rovnost $10^x+10^2=10^{x+2}$ obecně neplatí.
Ano. Chyba je v kroku (3). Uvedenou úpravu je totiž možné použít pouze v případě, že je základ menší než $1$.
Ano. Chyba je v kroku (4). Řešením mělo být $x=-\frac12$.
Ano. Chyba je v kroku (5). Ve zkoušce měla být hodnota levé strany: $$ L =10^{−1}+10^2=10^1= 10 $$
Ne. Celý postup je v pořádku.
V této rovnici je nutná znalost pravidel pro počítání s mocninami. Pokud sčítáme mocniny téhož základu, není možné sčítat jejich exponenty. Takovou úpravu bychom použili v případě, že bychom mocniny o stejném základu násobili. Správné řešení tedy vypadá takto: $$ \begin{gather} 10^x+100=10 \cr 10^x=-90 \end{gather} $$ Hodnota exponenciálního výrazu $10^x$ nemůže být (pro žádné reálné číslo $x$) záporná, a proto daná rovnice nemá řešení. Zkouška v tomto případě není nutná.