Tomáš a Anna vyriešili nasledujúcu úlohu:
V konvergentnej nekonečnej geometrickej postupnosti $(a_n )$ s kladnými členmi je prvý člen rovný $4$. Nájdite súčet všetkých členov tejto postupnosti, ak $a_3-a_5=\frac{32}{81}$.
Obaja Tomáš aj Anna vedeli, že v geometrickej postupnosti $(a_n )$ s kvocientom $r$ platí $$ a_3 =a_1 r^2,a_5 =a_1 r^4 $$ a tak zostavili rovnicu: $$ a_1 r^2 -a_1 r^4=\frac{32}{81} $$ Dosadili $4$ za $a_1$ a dostali: $$ \begin{gather} 4r^2-4r^4=\frac{32}{81} \cr 81r^2-81r^4=8 \end{gather} $$
Tomáš potom pokračoval nasledovne:
(1) Prepísal poslednú rovnicu na: $$ 81(r^2 )^2-81r^2+8=0 $$
(2) Potom upravil vyššie uvedenú rovnicu na kvadratickú rovnicu s premennou $t=r^2$: $$ 81t^2-81t+8=0 $$
(3) Vyriešil kvadratickú rovnicu:
$$ \begin{gather} t_{1,2}=\frac{81\pm \sqrt{(-81)^2-4 \cdot 81 \cdot 8}}{2 \cdot 81} \cr t_{1,2}=\frac{81\pm \sqrt{81(81-32) }}{162} \cr t_{1,2}=\frac{81\pm {63}}{162} \cr t_1=\frac19,~ t_2=\frac89 \end{gather} $$
(4) Nakoniec vypočítal súčty nekonečných postupností $(a_n )$: $$ S_1=\frac{4}{1-\frac19}=\frac92,~~S_2=\frac{4}{1-\frac89}=36 $$ Tomáš dospel k záveru, že existujú dve nekonečné geometrické postupnosti s danými vlastnosťami a ich súčty sú: $$ S_1=\frac92,~S_2=36 $$
Anna postupovala nasledovne:
(1) Prepísala poslednú rovnicu do tvaru: $$ (9r^2 )^2-9 \cdot (3r)^2+8=0 $$
(2) Potom použila substitúciu $$ u=3r $$ a zmenila rovnicu na: $$ u^4-9u^2+8=0 $$
(3) Vyriešila vyššie uvedenú rovnicu pomocou rozkladu: $$ \begin{gather} (u^2-1)(u^2-8)=0 \cr u^2=1 \mathrm{~or~} u^2=8 \cr u=\pm 1\mathrm{~or~} u=\pm \sqrt8 \end{gather} $$
(4) Nakoniec určila kvocient postupnosti $r$: $$ r=\frac13, ~~r=\frac{\sqrt8}3 $$
(5) Zostávalo už len vypočítať súčty nekonečných postupností: $$ \begin{gather} S_1=\frac{4}{1-\frac13}=6 \cr S_2=\frac{4}{1-\frac{\sqrt8}{3}}=\frac{12}{3-\sqrt8}=12(3+\sqrt8)=36+24\sqrt2 \end{gather} $$
Anna dospela k záveru, že existujú dve nekonečné geometrické postupnosti s danými vlastnosťami a ich súčty sú: $$ S_1=6,~~S_2=36+24 \sqrt2 $$
Učiteľ požiadal ich spolužiakov, aby okomentovali ich riešenia. Ktorý komentár je správny?
Anna získala správny výsledok.
Tomáš dostal správny výsledok.
Annino riešenie nie je úplné. Chýbajú dva výsledky: $r=-\frac13$ a $r=-\frac{\sqrt8}3$, čo znamená, že existujú ďalšie dve nekonečné geometrické postupnosti s danými vlastnosťami. Ich súčty sú: $$ S_3=\frac{4}{1+ \frac13}=3 $$ a $$ S_4=\frac{4}{1+\frac{\sqrt8}{3}}=\frac{12}{3+\sqrt8}=12(3-\sqrt8)=36-24\sqrt2 $$
Obaja urobili chybu hneď na začiatku. $n$-tý člen geometrickej postupnosti $(a_n )$ s kvocientom $r$ je daný vzorcom: $$ a_n=a_1 r^n $$ Preto mali riešiť rovnicu: $$ a_1 r^3-a_1 r^5=\frac{32}{81} $$