Tom a Anna řešili tuto úlohu:
V nekonečné geometrické posloupnosti $(a_n )$ s kladnými členy je první člen $4$. Určete součet všech členů této posloupnosti, jestliže $a_3-a_5=\frac{32}{81}$.
Oba, Tomáš i Anna, věděli, že v geometrické posloupnosti $(a_n )$ s kvocientem $r$ platí $$ a_3 =a_1 r^2,a_5 =a_1 r^4. $$ a tak sestavili rovnici: $$ a_1 r^2 -a_1 r^4=\frac{32}{81} $$ Dosadili $4$ za $a_1$ a získali: $$ \begin{gather} 4r^2-4r^4=\frac{32}{81} \cr 81r^2-81r^4=8 \end{gather} $$
Tom pak pokračoval takto:
(1) Přepsal poslední rovnici do tvaru: $$ 81(r^2 )^2-81r^2+8=0 $$
(2) Pak tuto rovnici upravil do kvadratické rovnice s proměnnou $t=r^2$: $$ 81t^2-81t+8=0 $$
(3) Užitím vzorce rovnici vyřešil: $$ \begin{gather} t_{1,2}=\frac{81\pm \sqrt{(-81)^2-4 \cdot 81 \cdot 8}}{2 \cdot 81} \cr t_{1,2}=\frac{81\pm \sqrt{81(81-32) }}{162} \cr t_{1,2}=\frac{81\pm {63}}{162} \cr t_1=\frac19,~ t_2=\frac89 \end{gather} $$
(4) Nakonec spočítal součet nekonečné řady $(a_n )$: $$ S_1=\frac{4}{1-\frac19}=\frac92,~~S_2=\frac{4}{1-\frac89}=36 $$ Tom tak došel k závěru, že existují dvě nekonečné geometrické posloupnosti s danými vlastnostmi a jejich součty jsou: $$ S_1=\frac92,~S_2=36 $$
Anna postupovala takto:
(1) Přepsala poslední rovnici do tvaru: $$ (9r^2 )^2-9 \cdot (3r)^2+8=0 $$
(2) Pak použila substituci $$ u=3r $$ a rovnici upravila: $$ u^4-9u^2+8=0 $$
(3) Rovnici vyřešila rozkladem na součin: $$ \begin{gather} (u^2-1)(u^2-8)=0 \cr u^2=1 \mathrm{~nebo~} u^2=8 \cr u=\pm 1\mathrm{~nebo~} u=\pm \sqrt8 \end{gather} $$
(4) Nakonec určila kvocient $r$ posloupnosti: $$ r=\frac13, ~~r=\frac{\sqrt8}3 $$
(5) Zbývalo už Jen vypočítat součty nekonečné geometrické řady: $$ \begin{gather} S_1=\frac{4}{1-\frac13}=6 \cr S_2=\frac{4}{1-\frac{\sqrt8}{3}}=\frac{12}{3-\sqrt8}=12(3+\sqrt8)=36+24\sqrt2 \end{gather} $$
Anna došla k závěru, že existují dvě nekonečné geometrické posloupnosti s danými vlastnostmi a jejich součty jsou: $$ S_1=6,~~S_2=36+24 \sqrt2 $$
Učitel vyzval spolužáky, aby okomentovali jejich řešení. Který komentář je správný?
Anna získala správný výsledek.
Tom získal správný výsledek.
Annino řešení není úplné. Chybí dvě řešení $r=-\frac13$ a $r=-\frac{\sqrt8}3$, což znamená, že existují ještě další dvě nekonečné geometrické posloupnosti s uvedenými vlastnostmi. Jejich součty jsou: $$ S_3=\frac{4}{1+ \frac13}=3 $$ a $$ S_4=\frac{4}{1+\frac{\sqrt8}{3}}=\frac{12}{3+\sqrt8}=12(3-\sqrt8)=36-24\sqrt2 $$
Oba udělali chybu rovnou na začátku. $n$-tý člen geometrické posloupnosti $(a_n )$ s kvocientem $r$ je dán vzorcem $$ a_n=a_1 r^n $$ Měli tedy řešit rovnici: $$ a_1 r^3-a_1 r^5=\frac{32}{81} $$