$a_1$

Ania, Krysia a Ulla mali vyriešiť nasledujúcu úlohu::

Súčet prvých troch členov nekonečnej geometrickej postupnosti je $14$ a súčet $S$ všetkých členov tejto postupnosti je $\frac{27}{2}$ . Vypočítajte prvý člen $a_1$ tejto postupnosti.

Ania úlohu vyriešila takto: $$ \begin{gather} a_1+a_1 q+a_1 q^2=14 \cr \frac{a_1}{1-q}=\frac{27}{2} \end{gather} $$ Potom v prvej rovnici vybrala pred zátvorku $a_1$ a v druhej vyjadrila $a_1$: $$ \begin{gather} a_1 (1+q+q^2 )=14 \cr a_1=\frac{27}{2} (1-q) \end{gather} $$ Nakoniec dosadila $\frac{27}{2} (1-q)$ za $a_1$ do prvej rovnice a vyriešila ju: $$ \begin{gather} \frac{27}{2} (1-q)(1+q+q^2 )=14 \cr \frac{27}{2} (1+q^3 )=14 \cr 27(1+q^3 )=28 \cr q^3=\frac1{27} \cr q=\frac13 \end{gather} $$ Dostala: $$ a_1=\frac{27}{2} \left(1-\frac13\right)=9 $$

Krysia vyriešila úlohu nasledujúcim spôsobom: $$ \begin{gather} a_1 (1+q+q^2 )=14 \cr \frac{a_1}{1-q}=\frac{27}2 \end{gather} $$ Potom v prvej rovnici napísala výraz v zátvorke ako štvorec a v druhej rovnici vyjadrila $a_1$: $$ \begin{gather} a_1 (1+q)^2=14 \cr a_1=\frac{27}2 (1-q) \end{gather} $$ Nakoniec dosadila $\frac{27}2 (1-q)$ za $a_1$ do prvej rovnice a vyriešila ju: $$ \begin{gather} \frac{27}{2} (1-q) (1+q)^2=14 \cr 27(1-q^3 )=28 \cr -27q^3=1 \cr q=-\frac13 \end{gather} $$ Dostala: $$ a_1=\frac{27}{2} \left(1+\frac13 \right)=18 $$

Ulla použila vzorce pre súčet prvých troch členov geometrickej postupnosti a pre súčet nekonečnej konvergentnej geometrickej postupnosti: $$ \begin{gather} a_1 \frac{1-q^3}{1-q}=14 \cr \frac{a_1}{1-q}=\frac{27}{2} \end{gather} $$ Potom vyjadrila $a_1$ z každej z rovníc: $$ \begin{gather} a_1= \frac{14(1-q)}{1-q^3} \cr a_1=\frac{27}{2} (1-q) \end{gather} $$ Porovnaním výrazov na pravej strane dostala: $$ \frac{14(1-q)}{1-q^3}=\frac{27}{2} (1-q)
$$

Nakoniec odstránila zlomky z vyššie uvedenej rovnice vynásobením oboch strán výrazom $\frac{2(1-q^3 )}{1-q}$ a určila $q$: $$ \begin{gather} 28=27-27q^3 \cr q=-\frac13 \end{gather} $$ Zostávalo už len vypočítať $a_1$: $$ a_1=\frac{27}{2} \left(1+\frac13 \right)=18 $$

Ktorá z nich postupovala pri riešení úlohy správne?