$a_1$

Ania, Krysia a Ulla řešily následující úlohu:

Součet prvních tří členů nekonečné geometrické posloupnosti je $14$ a součet $S$ všech členů této posloupnosti je $\frac{27}{2}$ . Vypočítejte první člen $a_1$ této posloupnosti.

Ania úlohu vyřešila takto: $$ \begin{gather} a_1+a_1 q+a_1 q^2=14 \cr \frac{a_1}{1-q}=\frac{27}{2}. \end{gather} $$ Poté v první rovnici vytkla před závorku $a_1$ a v druhé rovnici vyjádřila $a_1$: $$ \begin{gather} a_1 (1+q+q^2 )=14 \cr a_1=\frac{27}{2} (1-q). \end{gather} $$ Nakonec dosadila $\frac{27}{2} (1-q)$ za $a_1$ do první rovnice a vyřešila ji: $$ \begin{gather} \frac{27}{2} (1-q)(1+q+q^2 )=14 \cr \frac{27}{2} (1+q^3 )=14 \cr 27(1+q^3 )=28 \cr q^3=\frac1{27} \cr q=\frac13. \end{gather} $$ Dostala: $$ a_1=\frac{27}{2} \left(1-\frac13\right)=9. $$

Krysia vyřešila úlohu následovně: $$ \begin{gather} a_1 (1+q+q^2 )=14 \cr \frac{a_1}{1-q}=\frac{27}2. \end{gather} $$ Poté v první rovnici upravila výraz v závorce na "čtverec" a z druhé rovnici vyjádařila $a_1$: $$ \begin{gather} a_1 (1+q)^2=14 \cr a_1=\frac{27}2 (1-q). \end{gather} $$ Nakonec dosadila $\frac{27}2 (1-q)$ za $a_1$ do první rovnice a vyřešila ji: $$ \begin{gather} \frac{27}{2} (1-q) (1+q)^2=14 \cr 27(1-q^3 )=28 \cr -27q^3=1 \cr q=-\frac13. \end{gather} $$ Dostala tedy: $$ a_1=\frac{27}{2} \left(1+\frac13 \right)=18. $$

Ulla použila vzorec pro součet prvních tří členů geometrické posloupnosti a pro součet nekonečné konvergentní geometrické posloupnosti: $$ \begin{gather} a_1 \frac{1-q^3}{1-q}=14 \cr \frac{a_1}{1-q}=\frac{27}{2}. \end{gather} $$ Vyjádřila $a_1$ z každé rovnice: $$ \begin{gather} a_1= \frac{14(1-q)}{1-q^3} \cr a_1=\frac{27}{2} (1-q). \end{gather} $$ Porovnáním vyrazů na pravé straně dostala: $$ \frac{14(1-q)}{1-q^3}=\frac{27}{2} (1-q). $$

Nakonec odstranila z rovnice zlomky vynásobením obou stran výrazem $\frac{2(1-q^3 )}{1-q}$ a určila $q$: $$ \begin{gather} 28=27-27q^3 \cr q=-\frac13. \end{gather} $$ Zbylo už jen spočítat $a_1$: $$ a_1=\frac{27}{2} \left(1+\frac13 \right)=18. $$

Která z nich postupovala při řešení úlohy správně?