Sofia a Olívia mali vyriešiť túto úlohu :
V pravouhlom trojuholníku $ABC$ s pravým uhlom u vrcholu $C$ označme uhol u vrcholu $A$ ako $\alpha$ (teda $\measuredangle BAC=\alpha$). Pre uhol $\alpha$ platí
$$\sin \alpha =\cos \alpha.$$
Dĺžka prepony je $2$. Určite obsah kružnice vpísanej do tohto trojuholníka.
Sofia ukázala svoje riešenie.
(1) Nakreslila obrázok pravouhlého trojuholníka s vpísanou kružnicou:
(2) Vedela, že obsah $P$ trojuholníka $\Delta ABC$ možno vyjadriť dĺžkami jeho strán a veľkosťou $\rho$ polomeru vpísanej kružnice: $$ P=\frac12 a\rho +\frac12 b\rho +\frac12 c\rho =\frac12 \rho (a+b+c) $$
(3) Odtiaľ vyjadrila polomer $\rho$ : $$ \rho =\frac{2P}{a+b+c} $$ (4) Potom pokračovala takto: $$\begin{gather} \sin \alpha =\cos \alpha \Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{b}{c} \Rightarrow a=b \cr a^2+a^2=2^2 \cr a=\sqrt{2} \end{gather}$$ (5) Nakoniec vypočítala obsah $P$ a polomer $\rho$: $$ \begin{gather} P=\frac{ab}{2}=1 \cr \rho =\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{2}+2} =\frac{1}{\sqrt{2}+1} \end{gather} $$ (6) Teraz mohla vypočítať obsah vpísanej kružnice $A$ : $$ A =\pi\rho^2=\frac{\pi}{3+2\sqrt{2}} $$
Tu je riešenie Olívie :
(1) Využila, že $\sin \alpha = \cos \alpha$, z čoho vyplýva, že $\alpha =\frac{\pi}{4}$ a že $\Delta ABC$ je rovnoramenný pravouhlý trojuholník.
(2) Nakreslila rovnoramenný pravouhlý trojuholník s vpísanou kružnicou.
(3) Vedela, že os pravého uhla rovnoramenného pravouhlého trojuholníka je výška na preponu, takže: $$ \tan \frac{ \alpha}{2}=\frac{\rho}{1} $$
(4) Zapamätala si vzorec pre tangens polovičného uhla $$ \tan \frac{ \alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}} $$ a vyjadrila polomer $\rho$ v tvare: $$ \rho =\sqrt{\frac{1-\frac1{\sqrt{2}}}{1+\frac1{\sqrt{2}}}}=\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}} $$
(5) Nakoniec vypočítala obsah $A$ vpísanej kružnice: $$ A =\pi\rho^2=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} \pi $$
Učiteľ požiadal spolužiakov o komentáre. Určte, ktorý komentár je správny.
Karol je presvedčený, že obe vyriešili úlohu správne.
Libor si myslí, že nie sú správne obe riešenia. Obe urobili chybu pri výpočte polomeru $\rho$.
Marek je presvedčený, že Olívia urobila v kroku (4) chybu. Malo to byť: $$ \tan \frac{ \alpha}{2}= \frac{\sin \frac{ \alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}} =1,~\rho =1 $$
Katka si myslí, že Olívia urobila v kroku (3) chybu. Príklad si zjednodušila tým, že sa domnievala, že os pravého uhla rovnoramenného pravouhlého trojuholníka delí preponu na rovnaké časti, čo nemusí platiť vo všeobecnosti.
$$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\cdot \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}= \frac{1}{3+2\sqrt{2}}$$
