Po skúške si skupina študentov skontrolovala svoje riešenia a Adam napísal svoje riešenie na tabuľu. Ich úlohou bolo vyriešiť logaritmickú nerovnicu: $$ \log x-1 \geq 0 $$ Tu je Adamovo riešenie:
(1) Adam si uvedomil, že logaritmy možno riešiť len pre kladné čísla. Preto k danej nerovnici pridal podmienku riešiteľnosti: $$ \log x-1 \geq 0;x>0 $$
(2) Premenil číslo $0$ na pravej strane nerovnosti na $\log 1$: $$ \log x-1 \geq \log 1 $$
(3) Odstránil logaritmy z oboch strán nerovnosti: $$ x-1 \geq 1 $$
(4) Vyriešil výslednú nerovnosť a výsledok zapísal pomocou intervalu: $$ \begin{gather} x \geq 2 \cr x \in \langle 2;\infty) \end{gather} $$
(5) Nakoniec Adam vykonal skúšku správnosti tak, že si vybral ľubovoľné číslo z uvedeného intervalu. Skúška pre $x=100$: $$ \begin{gather} L=\log 100-1=2-1=1 \cr P=0 \cr L>P \end{gather} $$ Je Adamovo riešenie správne? Vysvetlite.
Nie. Chyba je v kroku (3). V tomto tvare nie je možné odstrániť logaritmy z našej nerovnosti, pretože číslo $-1$ nie je súčasťou logaritmu na ľavej strane.
Nie. Chyba je v kroku (2). Nemôžeme napísať $0=\log 1$. Je to logaritmus so základom $10$, a preto by malo byť $0=\log 10$.
Nie. Chyba je v kroku (3). Pri odstraňovaní logaritmov sa malo zmeniť znamienko nerovnosti.
Áno. Adamovo riešenie je správne.
Adam správne určil podmienku riešenia, ale urobil chybu pri odstraňovaní logaritmov z nerovnice. Správny postup riešenia nerovnice mal byť:
Stanovenie podmienky riešiteľnosti (logaritmy možno brať len pre kladné čísla): $$ \log {x}-1 \geq 0;~x>0 $$ Pripočítanie jednotky k obom stranám nerovnosti: $$ \log x≥1 $$ Prepis pravej strany pomocou logaritmu: $$ \log {x} \geq \log 10 $$ Odstránenie logaritmov z nerovnosti: $$ x \geq 10 $$ Množina riešení je interval $\langle 10; \infty )$.
Poznámka: Množina riešení našej nerovnice je interval a kontrola (krok (5)) sa nedá vykonať dosadením len jedného vybraného čísla z tohto intervalu. V tomto prípade kontrola nie je potrebná a nemusíme ju robiť vôbec.